Enunciado

5. Uma comporta vertical de forma retangular tem largura l ; a altura da água represada é h . (a) Aplicando os resultados do Problema 4 , calcule a força total F exercidada pela água sobre a comporta e localize o centro das pressões. (b) Se l = 3   m e o torque máximo suportado pela base da comporta é de 150   k N m , qual o valor máximo de h admissível?

Passo 1

Bora lá pra mais um probleminha nesse maravilhoso e complicado livro de Física.

a) Ao olhar a nossa figurinha do enunciado, vemos que como a comporta é vertical e retangular, a coordenada vertical de seu centróide é simplesmente z - = h / 2 e a sua área é igual a A = h l .

Ora bolas! A questão nos pede para aproveitar o resultado do exercício anterior, onde:

F = ρ g z - A

Assim, basta substituir os valores pertinentes e obtemos que:

F = ρ g h 2 ⋅ h l

F = ρ g h 2 l 2

Seguindo nosso raciocínio, vamos procurar também o centro das pressões a partir do resultado encontrado no item (b) do exercício anterior:

z 0 = I 0 z - A

Só que nos precisamos do I 0 , né não? Pois vamos tratar de calculá-lo a partir da relação abaixo:

I 0 = ∫ z 2 d A

Mas d A ; como a altura é variável e a largura l   é fixa, pode ser escrita como:

d A = l d z

O que nos leva, integrando de 0   até h , à:

I 0 = ∫ z 2 l d z = l ∫ 0 h z 2 d z =

= l z 3 3 0 h = l h 3 3

Passo 2

Só o que nos resta é pegar os valores que obtivemos no P a s s o   1 e usar em:

z 0 = I 0 z - A

z 0 = l h 3 3 h 2 ⋅ h l = l h 3 3 ⋅ 2 l h 2

z 0 = h 3

Bom! Você aí deve estar se perguntadondo o porque da resposta ser h / 3 se o valor calculado foi 2 h / 3 . Calma que tudo tem uma explicação!

Como trabalhamos com centróide, precisamos dividir o valor calculado por 2 . Assim:

z 0 = h 3

Passo 3

b) Na letra (b) da questão anterior, vimos que o torque resultante é dado por:

τ = z 0 ⋅ F

Só nos resta então, pegar os valores conhecidos de z 0 e F dos P a s s o s   1 e 2 da nossa questão. Obtemos então, que:

τ = h 3 ⋅ ρ g h 2 l 2

τ = ρ g h 3 l 6

Bora por esse h em evidência. Essa vai ser a nossa altura máxima:

h 3 = 6 τ ρ g l

h = 6 τ ρ g l 3

h = 6 ( 150000   N ⋅ m ) ( 1000   k g / m 3 ) ( 9,81   m / s 2 ) ( 3   m ) 3

h ≈ 3,1   m

E catapimba! Resposta encontrada.

Resposta

a)

F = ρ g h 2 l 2

z 0 = 2 h 3

b)

h ≈ 3,1   m

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Na Fig. 14-37, uma mola de constante elástica 3,00 × 10 4N / m liga uma viga rígida ao êmbolo de saída de um macaco hidráulico. Um recipiente vazio de massa desprezível está sobre o êmbolo de entrada.
Um tubo em forma de U contendo um liquido possui uma seção horizontal de comprimento igual a l (Figura 14.40). Calcule a diferença de altura entre as duas colunas de liquido nos ramos verticais quando
4. Calcule a magnitude F da força exercida por um fluido sobre uma área A de parede plana( inclinada de um ângulo qualquer em relação à vertical), do recipiente que o contém. Para isto, divida a área
Você segura uma mangueira na altura da cintura e esguicha água horizontalmente a ela. O esguicho da mangueira tem um diâmetro de 1,80 cm, e a água jorra no solo a uma distância de 0,950 m horizontalme