Enunciado

4. Calcule a magnitude F da força exercida por um fluido sobre uma área A de parede plana( inclinada de um ângulo qualquer em relação à vertical), do recipiente que o contém. Para isto, divida a área d A em faixas infinitesimais d A horizontais (uma delas é mostrada hachurada na Fig. P.4); seja z a profundidade de d A , e ρ a densidade do fluido. (a) Mostre que F = ρ g z - A , onde z - é a profundidade do centróide de A , definido como a profundidade do centro de massa de A , considerado como uma placa plana homogênea. (b) O torque resultante sobre A , em relação a um eixo horizontal O O ' , é o mesmo que se a força F estivesse aplicada num ponto C 0 da área A (veja Fig. P.4), que se chama centro das pressões. Motre que a profundidade z 0   do centro das pressões é dada por z 0 = I 0 /   ( z - A ) , onde I 0 = ∫ z 2 d A é análogo a um “momento de inércia” de A em relação a O O ' .

Passo 1

Bora lá pro nosso quarto probleminha nesse maravilhoso e complicado livro de Física.

a) Bom! A força exercida sobre a tira infinitesimal, a uma distância z da origem, é dada a partir da seguinte relação diferencial abaixo:

d F = P d A

Só que a pressão P é o produto da densidade ρ pela gravidade g pela profundidade z . Desse modo, ficamos com a identidade com uma cara nova:

d F = ρ g z d A

Vamos agora, integrar cada membro:

∫ d F = ρ g ∫ A z d A

F = ρ g ∫ A z d A

Guardemos esse resultado! Vamos precisar dele!

Passo 2

Em seguida, o que temos que fazer é lembrar que a coordenada central centróide de uma placa homogênea pode ser obtido a partir de:

z - = 1 A ∫ A z d A

Rearrajando essa expressão, alcançamos que:

∫ A z d A = z - A

Ótimo! Maravilha! Tudo que temos de fazer para resolver essa letra em definitivo, é substituir esse último resultado naquela última relação do P a s s o   1 :

F = ρ g ∫ A z d A

F = ρ g z - A

Passo 3

b) Nessa letra, o que queremos é encontrar o torque d τ aplicado em cad a uma das tiras infinitesimais. Esse torque é o produto entre a força aplicada sob a tira e a distância em relação ao eixo O O ' - , isto é, z :

d τ = z d F

Só que d F , lá do P a s s o   1 , sabemos ser dado por:

d F = ρ g z d A

O que nos faz ficar com:

d τ = ρ g z 2 d A

Seguindo nosso caminho, bora integrar essa epxressão pra ver o que dá:

∫ d τ = ∫ ρ g z 2 d A

τ = ρ g ∫ z 2 d A

Que beleza! Sabe o porquê? Lá do enunciado, obtemos que I 0 = ∫ z 2 d A . O que nos dá:

τ = ρ g I 0

Passo 4

Agora sim, já sabemos que esse torque é equivalente ao torque resultante devido àforça F aplicada no centro das pressões C 0 , que está à uma distância vertical z 0   da origem. Deste modo, z - = z 0 e o torque, em termos de z 0 é:

τ = z 0 F = z 0 ρ g z - A

Igualemos então, essa expressão e a do final do P a s s o   3 :

τ = z 0 ρ g z - A = ρ g I 0

z 0 ρ g z - A = ρ g I 0

z 0 z - A = I 0

z 0 = I 0 z - A

Pronto! Encontramos a resposta que queríamos!

Resposta

a)

F = ρ g z - A

b)

z 0 = I 0 z - A   ( C o m p r o v a d o )

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