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Considere o arranjo de cargas. Umas carga positiva + q está localizada no ponto x = 0 e y = - a e uma carga negativa - q está localizada no ponto x = 0   e y = + a . a)Deduza uma relação para o potencial V em qualquer ponto sobre o eixo O y em função da coordenada y .Considere zero o potencial a uma distância infinita das cargas. b)Faça um gráfico do potencial sobre o eixo O y em função de y de y = - 4 a até y = + 4 a . c)Mostre que, quando y ≫ a , o potencial em qualquer ponto sobre a parte positiva do eixo O y é dado por V = - 1 4 π ϵ o 2 q a y 2 . d)Qual seria a resposta dos itens (b) e (c) se as cargas trocassem de posição, ou seja, se + q fosse localizada em y = + a r - q em y = - a ?

Passo 1

letra a)

O potencial elétrico é dado por:

V = 1 4 π ϵ o q r

O potencial total em qualquer ponto é a soma dos potenciais das duas cargas.

V = 1 4 π ϵ o q r 1 - 1 4 π ϵ o q r 2

Precisamos agora encontrar quem são as distâncias.

Passo 2

Considere as distâncias do ponto no eixo y a cada carga para as três regiões: − a   ≤   y   ≤   a

(entre as duas cargas),   y >   a (acima de ambas as cargas) e   y   < -   a   (abaixo de ambas as cargas).

Passo 3

Para a região − a   ≤   y   ≤   a :

r 1 = a + y

r 2 = a - y

O potencial será:

V = 1 4 π ϵ o q a + y - 1 4 π ϵ o q a - y

V = 1 4 π ϵ o 2 a y a 2 - y 2

Passo 4

Para a região y >   a :

r 1 = a + y

r 2 = y - a

O potencial será:

V = 1 4 π ϵ o q a + y - 1 4 π ϵ o q y - a

V = 1 4 π ϵ o - 2 a y y 2 - a 2

Passo 5

Para a região y < -   a :

r 1 = - a + y

r 2 = a - y

O potencial será:

V = - 1 4 π ϵ o q a + y - 1 4 π ϵ o q a - y

V = 1 4 π ϵ o 2 a y y 2 - a 2

Passo 6

letra b)

Como temos três regiões para o potencial, então nosso gráfico teŕa três regiões.

Passo 7

letra c)

Quando y ≫ a , a 2 → 0

V = 1 4 π ϵ o - 2 a y y 2 - a 2 ≈ 1 4 π ϵ o - 2 a y y 2 - 0

V = 1 4 π ϵ o - 2 a y y 2

Passo 8

letra d)

Se as cargas forem trocadas, o potencial terá o sinal oposto.

Resposta

letra a) − a   ≤   y   ≤   a , V = 1 4 π ϵ o 2 a y a 2 - y 2

y >   a , V = 1 4 π ϵ o - 2 a y y 2 - a 2

y < -   a , V = 1 4 π ϵ o 2 a y y 2 - a 2

letra b)

letra d)potencial terá o sinal oposto

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