Enunciado

69. Considere o circuito indicado na Figura 30.28 . Seja ε = 36,0   V , R 0 = 50,0   Ω , R = 150,0   Ω e L = 4,0   H . ( a ) A chave S 1 é fechada e a chave S 2 é mantida aberta. Logo depois que a chave S 1 é fechada, quais são os valores da corrente i 0 que passa em R 0 da diferença de potencial v a c e da diferença de potencial de v c b ? ( b ) Depois que a chave S 1 é fechada durante um tempo muito longo (mantendo a chave S 2 aberta), de modo que a corrente atinja seu valor estacionário final, quais são os valores de i 0 , v a c e v c b ? ( c ) Determine as expressões de i 0 ,   v a c e v c b em função do tempo, a partir do momento em que a chave S 1 é fechada. Seu resultado deve estar de acordo com item ( a ) , quando t = 0 , e com a resposta do item ( b ) , quando t → ∞ . Faça um gráfico de i 0 , v a c e v c b em função do tempo.

Passo 1

O que temos que saber de importante para esse problema é que temos um circuito R - L , então a corrente tem um comportamento dado por:

i = ε R t o t ( 1 - e - ( R t o t / L ) t )

Onde R t o t é a resistência total do sistema que vai ser assoma das duas resistências presentes no circuito, logo:

R t o t = 50 + 150 = 200   Ω

Essa função da corrente que escrevemos acima caba sendo da corrente i 0 do nosso circuito.

Então temos que:

i 0 = 0,18 ( 1 - e - 50 t )

Sabendo disso podemos ir resolver os itens do enunciado.

Passo 2

Vamos começar com o item ( a ) , sabemos o comportamento de i 0 em relação ao tempo dada por:

i 0 = 0,18 ( 1 - e - 50 t )

Logo depois que a chave é fechada temos t = 0 , assim temos que:

i 0 = 0

Para achar a diferença de potencial v a c vamos usar a lei de Ohm, temos que:

v a c = i 0 R 0

= 0 50

⇒ v a c = 0

E segundo a lei das malhas temos que:

ε - v a c - v c b = 0

Sabemos os valores de ε e v a c , então:

36 - 0 - v c b = 0

⇒ v c b = 36   V

Passo 3

Agora vamos discutir o item ( b ) , o longo tempo que o enunciado fala pode ser interpretado como t → ∞ , então usando isso na nossa fórmula para i 0 , temos:

i 0 = 0,18 ( 1 - e - 50 ( ∞ ) )

O termo da exponencial vai a zero então:

i 0 = 0,18   A

Sabendo disso o potencial v a c pode ser tirado da lei de Ohm, assim:

v a c = i 0 R 0

= 0,18 ( 50 )

⇒ v a c = 9   V

Usando a lei das malhas de noto, temos que:

ε - v a c - v c b = 0

Sabemos os valores de ε e v a c , então:

36 - 9 - v c b = 0

⇒ v c b = 27   V

Passo 4

Bem, o item ( c ) pede uma expressão para a corrente em função do tempo e isso já tínhamos encontrado no passo 1 , que é:

i 0 = 0,18 ( 1 - e - 50 t )

Agora para v a c e v c b temos que achar, mais acima através da lei de Ohm e da lei das malhas, encontramos que:

v a c = i 0 R 0

v c b = ε - v a c

Substituindo a fórmula de i 0 na primeira expressão temos:

v a c = 0,18 ( 1 - e - 50 t ) ( 50 )

⇒ v a c = 9 ( 1 - e - 50 t )

Assim, a nossa segunda expressão mais acima fica da seguinte maneira:

v c b = 36 - 9 1 - e - 50 t

⇒ v c b = 9 ( 3 + e - 50 t )

Agora vamos ver se essas fórmulas batem com o que encontramos no item ( a ) para t = 0 e para o item ( b ) para t → ∞ .

Primeiro para t = 0 , temos:

i 0 = 0,18 ( 1 - e - 50 ( 0 ) )

⇒ i 0 = 0,18 1 - 1 = 0

Agora para v a c :

v a c = 9 1 - e - 50 ( 0 )

⇒ v a c = 9 1 - 1 = 0

Agora para v c b :

v c b = 9 ( 3 + e - 50 ( 0 ) )

⇒ v c b = 9 3 + 1 = 36   V

Vamos ver para o caso de t → ∞ , temos:

i 0 = 0,18 ( 1 - e - 50 ( ∞ ) )

⇒ i 0 = 0,18 1 - 0 = 0,18   A

Agora para v a c :

v a c = 9 1 - e - 50 ( ∞ )

⇒ v a c = 9 1 - 0 = 9   V

Agora para v c b :

v c b = 9 ( 3 + e - 50 ( ∞ ) )

⇒ v c b = 9 3 + 0 = 27   V

Passo 5

Os gráficos das funções de i 0 , v a c e v c b , estão mostrados abaixo.

Para i 0 temos:

Para v a c , temos:

Para v c b , temos:

Resposta

( a )

i 0 = 0

v a c = 0

v c b = 36   V

( b )

i 0 = 0 , 18   A

v a c = 9   V

v c b = 27   V

( c )

i 0 = 0,18 ( 1 - e - 50 t )

v a c = 9 ( 1 - e - 50 t )

v c b = 9 ( 3 + e - 50 t )

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