Enunciado

Considere duas vibrações com a mesma frequência e a mesma amplitude, porém com fases diferentes, uma ao longo do eixo Ox.

x = a sen ⁡ ( ω t - α )

E aoutra ao longo do eixo Oy,

y = a sen ⁡ ( ω t - β )

As relações anteriores podem ser escritas na forma:

x a = sen ⁡ ω t cos ⁡ α - cos ⁡ ω t sen ⁡ α

y a = sen ⁡ ω t cos ⁡ β - cos ⁡ ω t sen ⁡ β

a) Multiplique a Equação (1) por sen ⁡ β e a Equação (2) por sen ⁡ α   e a seguir subtraia as duas relações resultantes. b) Multiplique Equação (1) por cos ⁡ β e a Equação (2) por cos ⁡ α e a seguir subtraia as duas relações resultantes. c) Eleve ao quadrado e some os resultados dos itens (a) e (b). d) Deduza a equação x 2 + y 2 - 2 x y cos ⁡ δ = a 2 sen ⁡ δ 2 , onde δ = α - β . e) Use o resultado anterior para justificar cada um dos diagramas indicados na Figura 33.61. Na figura, o ângulo dado é a diferença de fase entre dois movimentos harmônicos simples com a mesma frequência e com a mesma amplitude, um horizontal (ao longo do eixo Ox) e o outro vertical (ao longo do eixo Oy). Portanto, a figura mostra a superposição de dois movimentos harmônicos simples perpendiculares.

Passo 1

Temos a equação 1:

x a = sen ⁡ ω t cos ⁡ α - cos ⁡ ω t sen ⁡ α

Vamos multiplica-la por sen ⁡ β

x a sen ⁡ β = sen ⁡ ω t cos ⁡ α sen ⁡ β - cos ⁡ ω t sen ⁡ α sen ⁡ β

E a equação 2:

y a = sen ⁡ ω t cos ⁡ β - cos ⁡ ω t sen ⁡ β

Multiplicando por sen ⁡ α

y a sen ⁡ α = sen ⁡ ω t cos ⁡ β sen ⁡ α - cos ⁡ ω t sen ⁡ β sen ⁡ α

Subtraindo essas equações:

1 a ( xsen ⁡ β - y sen ⁡ α ) = sen ⁡ ω t ( sen ⁡ β cos ⁡ α - cos ⁡ β sen ⁡ α ) - cos ⁡ ω t ( sen ⁡ α sen ⁡ β - sen ⁡ β sen ⁡ α )

1 a ( xsen ⁡ β - y sen ⁡ α ) = sen ⁡ ω t ( sen ⁡ β cos ⁡ α - cos ⁡ β sen ⁡ α )

Prontinho!

Passo 2

b) x a cos ⁡ β = sen ⁡ ω t cos ⁡ α cos ⁡ β - cos ⁡ ω t sen ⁡ α cos ⁡ β

y a cos ⁡ α = sen ⁡ ω t cos ⁡ β cos ⁡ α - cos ⁡ ω t sen ⁡ β cos ⁡ α

Subtraindo...

x a cos ⁡ β - y a cos ⁡ α = sen ⁡ ω t cos ⁡ α cos ⁡ β - cos ⁡ β cos ⁡ α - cos ⁡ ω t ( sen ⁡ α cos ⁡ β - sen ⁡ β cos ⁡ α )

x a cos ⁡ β - y a cos ⁡ α = - cos ⁡ ω t sen ⁡ α cos ⁡ β - sen ⁡ β cos ⁡ α

x a cos ⁡ β - y a cos ⁡ α = cos ⁡ ω t - sen ⁡ α cos ⁡ β + sen ⁡ β cos ⁡ α

Show!

Passo 3

c)

1 a 2 ( xsen ⁡ β - y sen ⁡ α ) 2 + x a cos ⁡ β - y a cos ⁡ α 2 = sen ⁡ ω t sen ⁡ β cos ⁡ α - cos ⁡ β sen ⁡ α 2 + cos ⁡ ω t - sen ⁡ α cos ⁡ β + sen ⁡ β cos ⁡ α 2

Na letra d, vamos arrumar essa equação.

d)

1 a 2 x sen ⁡ β 2 + y sen ⁡ α 2 - 2 x y sen ⁡ β sen ⁡ α + x cos ⁡ β 2 + y cos ⁡ α 2 - 2 x y cos ⁡ β cos ⁡ α = sen 2 ⁡ ω t sen ⁡ β cos ⁡ α - cos ⁡ β sen ⁡ α 2 + cos 2 ⁡ ω t - sen ⁡ α cos ⁡ β + sen ⁡ β cos ⁡ α 2

Pela relação fundamental da trigonometria, sen 2 ⁡ a + cos 2 ⁡ a = 1 , temos:

1 a 2 x 2 + y 2 - 2 x y ( sen ⁡ β sen ⁡ α + cos ⁡ β cos ⁡ α ) = sen ⁡ β cos ⁡ α - cos ⁡ β sen ⁡ α 2

Usando as relações: cos ⁡ α - β = cos ⁡ α cos ⁡ β + sen ⁡ α sen ⁡ β

sen ⁡ α - β = sen ⁡ α cos ⁡ β - sen ⁡ β cos ⁡ α

1 a 2 x 2 + y 2 - 2 x y cos ⁡ α - β = - ( cos ⁡ β sen ⁡ α - sen ⁡ β cos ⁡ α ) 2

1 a 2 x 2 + y 2 - 2 x y cos ⁡ α - β = sen ⁡ α - β 2

Fazendo δ = α - β

1 a 2 x 2 + y 2 - 2 x y cos ⁡ δ = sen 2 ⁡ δ

x 2 + y 2 - 2 x y cos ⁡ δ = a 2 sen 2 ⁡ δ

Uhuul!!

Passo 4

e)

Vamos analisar alguns casos. O ângulo mostrado na figura é o δ .

δ = 0 , temos:

x 2 + y 2 - 2 x y = 0

x - y 2 = 0

x = y

Essa é a equação de uma reta obliqua.

δ = π 4 , temos:

x 2 + y 2 - x y 2 = a 2 ⁡ 1 2

Essa é a equação de uma elipse.

δ = π 2 , temos:

x 2 + y 2 = a 2

Essa é a equação de um círculo.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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