Enunciado

10. Uma linha espectral de comprimento de onda λ = 4750   Å é na realidade um dubleto, de separação 0,043   Å . ( a ) Qual é o menor número de linhas que uma rede de difração precisa ter para separar esse dubleto no espectro de 2 ª ordem? ( b ) Se a rede tem 10   c m de comprimento, em que direção θ será observada a linha nesse espectro? Qual será a separação angular δ θ entre as duas componentes?

Passo 1

Tudo beleza, vamos resolver mais esse problema e deixar ele papando mosca?

Vamos lá, a primeira coisa é saber o que é esse dubleto que o enunciado fala, isso nada mais é que duas linhas espectrais muito próximas que diferem de um δ λ .

Então no nosso caso temos uma linha espectral de λ = 4750   Å que na verdade é composta de duas que estão separadas por 0,043   Å . Sabendo disso vamos ver como encontrar o que o enunciado quer.

De início o enunciado quer saber o número de linhas N de uma rede para separar o dubleto no espectro de 2 ª ordem ( m = 2 ) . Podemos fazer isso através da seguinte equação (equação 4.75 do livro):

λ δ λ = m N

Já que sabemos de tudo o que precisamos.

Agora para encontrar a posição angular θ em que vamos observar essa linha, pedida em ( b ) , basta usarmos a seguinte equação (página 120 do livro):

sen ⁡ θ = m d ( λ + δ λ )

Essa equação fornece a posição dos máximos de ordem m para um caso como o dubleto.

Obtendo o ângulo θ poderemos achar a separação angular δ θ (distância entre as linhas do dubleto), dada pela seguinte equação:

cos ⁡ θ δ θ = λ N d

Nós vamos usar apenas λ pois dubleto forma uma única linha que tem o comprimento de onda dado no enunciado e a largura angular dessa linha vai ser a distância angular do dubleto.

Um detalhe importante é que para uma rede de difração com N fendas separadas por uma distância d , ela tem um comprimento de L = N d . Mãos a obra!

Passo 2

Vamos encontrar o menor número de linhas que essa fenda deve ter, temos:

λ δ λ = m N

⇒ N = λ m δ λ

Substituindo com o que sabemos, temos:

N = 4750   Å 2 ( 0,043   Å )

Então o menor número de fendas é:

⇒ N = 55232

Passo 3

Agora vamos encontrar a direção θ pedida em ( b ) , temos o seguinte:

sen ⁡ θ = m d ( λ + δ λ )

Mas nós não temos d , mas usando o que eu disse no passo 1 de que L = N d , temos que:

d = L N

Assim temos que:

sen ⁡ θ = m L / N ( λ + δ λ )

E L o enunciado nos deu, L = 10   c m = 0,1   m . Então temos:

sen ⁡ θ = 2 0,1 / 55232 ( 4750 ⋅ 10 - 10 + 0,043 ⋅ 10 - 10 )

⇒ sen ⁡ θ = 2 1,81 ⋅ 10 - 6 ( 4750 , 043 ⋅ 10 - 10 )

⇒ sen ⁡ θ = 0,5247

Então temos que:

θ = 31,6 °

Passo 4

Agora por último vamos encontrar a separação angular δ θ , temos:

cos ⁡ θ δ θ = λ N d

⇒ δ θ = λ N d 1 cos ⁡ θ

Do passo 1 temos que L = N d , assim temos:

δ θ = λ L 1 cos ⁡ θ

Agora vamos substituir o que sabemos, temos:

δ θ = 4750 ⋅ 10 - 10 0,1 1 cos ⁡ 31,6

⇒ δ θ = 5,58 ⋅ 10 - 6   r a d

Resposta

( a )

N = 55232

( b )

θ = 31,6 °

δ θ = 5,58 ⋅ 10 - 6   r a d

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