Enunciado

4. Considere a função f X = sen 2 ⁡ X / X 2 (figura de difração de uma fenda). Mostre que os máximos secundários são raízes da equação tg ⁡ X n = X n e procure determinar os seus valores, bem como os de f ( X n ) , para n = 1,2 , 3 , usando métodos gráficos ou numéricos (calculadora).

Passo 1

Vem comigo que não vai ter problema que não podemos resolver.

Para demonstrar o que o enunciado pede vamos usar nosso conhecimento de calculo sobre como encontrar os pontos que extremos de uma função ocorre, que são os pontos que fazem a primeira derivada zerar.

d d x f x = 0

Vamos aplicar isso na função f ( X ) e ver se os valores de X que fazem a derivada dessa função ser zero são raízes de tg ⁡ X n = X n .

Ah não se preocupe com esse X n o n   é só para indicar que raiz estamos nos referindo.

Antes de começarmos, um detalhe que vai ser importante é que a função f ( X ) tem seus mínimos em X = m π (para m diferente de zero).

Vamos lá então!

Passo 2

Vamos começar derivando f ( X ) , temos:

d d x sen 2 ⁡ X X 2   = 2 X 2 sen ⁡ X cos ⁡ X - 2 X sen 2 ⁡ X X 4

= 2 sen ⁡ X X cos ⁡ X - sen ⁡ X X 3

E isso que encontramos tem que ser igual a zero.

2 sen ⁡ X X cos ⁡ X - sen ⁡ X X 3 = 0

Como não estamos considerando o caso de X = 0 já que é onde ocorre o máximo principal, temos:

sen ⁡ X X cos ⁡ X - sen ⁡ X = 0

Passo 3

Como eu disse no passo 1 os mínimos só ocorrem em X = m π , e a expressão que encontramos só zera para esse valor de X por conta do sen ⁡ X fatorado.

Então se liga no seguinte, não queremos que esse seno seja zero, então podemos dividir nossa expressão por sen ⁡ X nós não teremos mais os casos dos mínimos, então os valores de X que zeram

X cos ⁡ X - sen ⁡ X = 0

São os que vão nos dar os máximos.

Concorda comigo que nada nos impede de dividir os dois lados por cos ⁡ X , então:

X cos ⁡ X - sen ⁡ X cos ⁡ X = 0

⇒ X - tg ⁡ X = 0

⇒ X = tg ⁡ X

Então os valores que zeram essa expressão que encontramos também zera a expressão anterior que tínhamos. Prontinho demonstramos os que o enunciado pedia.

Passo 4

Abaixo temos uma figura com o gráfico das duas funções,

X = tg ⁡ X

e

  f X = sen 2 ⁡ X / X 2

e você pode reparar que pelo menos nos primeiros valores das funções que a a primeira zera no mesmo ponto onde a segunda tem um máximo secundário.

Você pode reparar que os valores diferem na terceira casa decimal, mas isso é porque não estamos lidando com valores exatos, mas na prática elas zeram.

Resposta

Demonstrado acima.

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