Enunciado

7. Interprete geometricamente, em termos da representação dos números complexos por vetores no plano complexo, a condição para que se tenha o primeiro zero, após um máximo principal, do fator de interferência

F = 1 + e - i Δ + e - i Δ 2 + … + e - i Δ N - 1

Passo 1

Tudo beleza? Vem comigo em mais esse problema que juntos vamos nos livrar dele.

A equação apresentada acima no enunciado é um dos termos da amplitude de difração em uma dada direção para o caso de N fendas. Que é dada por (Eq. 4.64 ):

f ( k , α ) = f 1 k , α 1 + e - i k α d + e - i k α d 2 + … + e - i k α d N - 1

Onde k α d = Δ é a defasagem entre duas fendas.

Esse fator é uma progressão geométrica que tem como razão e - i Δ , então essa soma pode ser representada por:

F = 1 - e - i N Δ 1 - e - i Δ

Com isso a intensidade do padrão de interferência pode ser escrita da seguinte forma:

I α = I 1 α ⋅ 1 - e - i N Δ 1 - e - i Δ 2

E usando o fato de que 1 - e - i Δ 2 = sen 2 ⁡ Δ 2 , temos que:

I α = I 1 α ⋅ sen 2 ⁡ N Δ 2 sen 2 ⁡ Δ 2

Só que o termos que vai nos interessar é

sen 2 ⁡ N Δ 2 sen 2 ⁡ Δ 2

Já que é ele que fornece o padrão de interferência. Um exemplo do gráfico dessa expressão é o seguinte:

Agora temos que ver que valor de Δ faz com que tenhamos o primeiro mínimo que é o que temos que interpretar no plano complexo.

Passo 2

Vamos lá então, para que a expressão que temos do passo 1 seja zero, precisamos que:

N Δ 2 = m π             m = ± 1

Já que a função seno zero para múltiplos inteiro de π .

Isolando Δ , temos:

Δ = 2 m π N

Onde m representa a ordem nos mínimos, como estamos interessados no primeiro temos que m = 1 , logo temos:

Δ = 2 m π N

Passo 3

Agora temos que ver o comportamento de F com esse valor de Δ para podermos construir o o vetor no plano complexo.

Temos que:

F = 1 - e - i N Δ 1 - e - i Δ

Usando o Δ que temos para m = 1 ficamos com:

F = 1 - e - i 2 π 1 - e - i 2 π N

Mas temos que:

e - i 2 π = cos ⁡ 2 π - i sen ⁡ 2 π = 1

Então temos que:

F = 0

Então a representação dele no plano complexo seria um ponto na origem.

Resposta

Demonstração acima.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um diafragma circular com 60c m de diâmetro oscila debaixo d’água com uma frequência de 25k H z , sendo usada com uma fonte sonora para detectar submarinos. Longe da fonte, a distância da intensidade
As moscas volantes que vemos quando olhamos para uma folha de papel em branco bem iluminada são figuras de difração produzidas por defeitos presentes no humor vítreo que ocupa a maior parte do globo o
Os aparelhos de radar de ondas milimétricas produzem um feixe mais estreito que os aparelhos de radar convencionais de micro-ondas, o que os torna menos vulneráveis ao mísseis antirradar. (a) Calcule
(a) O Telescópio refrator do observatório Yerkes tem uma objetiva com 1m de raio. De que ordem de grandeza é a menor separação entre dois objetos na Lua que podem ser resolvidos com esse telescópio? (
5. Um feixe paralelo de laser de argônio ( λ = 4.880Å ) Å , colimado por um diafragma de 1m m de raio, é dirigido para a Lua. Calcule um limite inferior para o raio do feixe ao atingir a Lua e compare