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Considere um modelo atômico para o módulo de Young. Suponha um grande número de átomos arranjados em uma rede cúbica, com cada átomo ocupando um vértice de um cubo e a uma distância a de seus seis vizinhos mais próximos. Imagine cada átomo ligado aos seus seis vizinhos mais próximos por pequenas molas, cada uma de constante k . (a) Mostre que este material, se tracionado, terá um módulo de Young Y = k / a . (b) Usando a Tabela 12-1 e supondo a ≈ 10 n m , estime um valor típico para a “constante de mola atômica” k do metal.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

De acordo com a definição de Módulo de Young:

Y = F / A ∆ L / L

Temos que ∆ L é dado por:

∆ L = F s k

Sendo F s = F / N , onde N é o número de molas.

N = A a 2

Substituindo, temos:

∆ L = F a 2 k A

Assumindo que as molas tracionem e comprimam linearmente, temos:

∆ L t o t L = ∆ L a = 1 a F a 2 k A = F a k A

Logo:

Y = F / A F a / k A

Y = k a

Passo 2

A partir do resultado do Passo 1, temos:

k = Y a

Da Tabela 12-1, temos:

Y = 200   G N / m 2

k = ( 200 × 10 11 N / m 2 ) ( 10 - 9   m )  

k = 2   N / c m

Resposta

a ) Y = k a

b ) k = 2   N / c m

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