Enunciado

Átomos de hidrogênio são colocados em um campo magnético externo com módulo igual a 1,65   T . (a) Os prótons podem fazer transições entre estados em que os spins ficam paralelos ou antiparalelos ao campo magnético absorvendo ou emitindo fótons. Qual é o estado que possui energia mais baixa, aquele com spin paralelo ou o que possui spin antiparalelo ao campo magnético? Qual é a frequência e o comprimento de onda do fóton? Em que região do espectro eletromagnético o fóton se encontra? (b) Os elétrons podem fazer transições entre estados em que os spins ficam paralelos ou antiparalelos ao campo magnético absorvendo ou emitindo fótons. Qual é o estado que possui energia mais baixa: aquele com spin paralelo ou o que possui spin antiparalelo ao campo magnético? Qual é a frequência e o comprimento de onda do fóton? Em que região do espectro eletromagnético o fóton se encontra?

Passo 1

Então pessoal, vamos começar entendendo como fica a energia quando fazemos transições entre os estados de spin!

Quando o spin é paralelo ao campo magnético, a energia de interação é:

U 1 = - μ z B

Quando o spin é anitparalelo ao campo magnético:

U 2 = μ z B

Isso diz que o estado com energia mais baixa é quando o spin é paralelo.

Lembrando que essa componente μ z é:

μ z = 2,79   μ n

Onde:

μ n = 5,051 × 10 - 27   J / T

Beleza, agora vamos pensar na frequência e comprimento de onda do fóton que é emitido ou absorvido nessa transição.

Passo 2

Então qual é a variação de energia quando pulamos de um estado para o outro?

Δ E = U 2 - U 1

Δ E = μ z B - - μ z B = 2 μ z B

Δ E = 2 2,79 5,051 × 10 - 27 B

Se o fóton absorvido/emitido nessa transição tem energia Δ E , então:

Δ E = h f

Isso quer dizer que:

h f = 2 2,79 5,051 × 10 - 27 B

Agora vaos isolar:

f = 2 2,79 5,051 × 10 - 27 B h

Usando h = 6,63 × 10 - 34   J s e B = 1,65   T :

f = 2 2,79 5,051 × 10 - 27 1,65 6,63 × 10 - 34

f = 7,01 × 10 7   H z

E pra encontrar o comprimento de onda é só usar essa relação aqui:

v = λ f         ⇒           c = λ f

λ = c f = 3,0 × 10 8 7,01 × 10 7 = 4,28   m

Pronto!

Passo 3

(b) Bom pessoal, a gente viu no item anterior que a energia mais baixa, no caso do próton, acontece quando o spin é paralelo ao campo magnético.

Mas como a carga do elétron é negativa, então temos que inverter isso. A menor energia acontece quando o spin é antiparalelo ao campo magnético.

E pra calcular a frequência, vamos seguir o mesmo procedimento de antes! Mas agora, quando estamos alternando entre os estados, estamos trocando o momento angular de spin:

m s = + 1 2       →           m s = - 1 2

E a fórmula para a energia é:

U = m s 2,002 μ B B

Então a variação entre esses dois estados é:

Δ E = 1 2 2,002   μ B   B - - 1 2 2,002   μ B B

Δ E = 2,002 μ B B

Passo 4

E usando o mesmo método de antes, podemos calcular a frequência e o comprimento de onda:

Δ E = h f

Isso quer dizer que:

h f = 2,002 9,274 × 10 - 24 1,65

Agora vaos isolar:

f = 2,002 9,274 × 10 - 24 1,65 6,63 × 10 - 34 = 4,6 × 10 10   H z

f = 46   G H z

E pra encontrar o comprimento de onda é só usar essa relação aqui:

v = λ f         ⇒           c = λ f

λ = c f = 3,0 × 10 8 4,6 × 10 10 = 6,49 × 10 - 3   m

Resposta

(a) O estado com energia mais baixa ocorre quando o spin tem orientação paralela ao campo. A frequência é f = 7,01 × 10 7   H z e o comprimento de onda é 4,28   m .

(b) O estado com energia mais baixa ocorre quando o spin tem orientação antiparalela ao campo. A frequência é f = 4,6 × 10 10   H z e o comprimento de onda é λ = 6,49 × 10 - 3   m .

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