Enunciado

7. Para construir outro exemplo da relação entre largura temporal Δ t e largura espectral Δ ω , considere o pacote de ondas [cf. ( 3.46 ) ]

E t = ∫ 0 ∞ e - ω Δ ω cos ⁡ ω t   d ω

Em que a amplitude de contribuição de frequência ω é exp ⁡ - ω / Δ ω , ou seja, tem largura espectral Δ ω (fig.). Calcule E ( t ) e a largura temporal correspondente Δ t . Comente o resultado.

Sugestão: Para calcular a integral, integre por partes duas vezes.

Passo 1

Vamos para mais um problema, mas fica tranquilo que vamos conseguir lidar com ele.

O próprio enunciado já nos diz que para achar E ( t ) teremos que calcular aquela integral por partes duas vezes, então vamos fazer isso.

Mas caramba tem um Δ ω ali no meio como integra isso? Na real não integra já que esse Δ ω é uma constante que representa a largura espectral, então ele não é nada mais que uma constante.

Para encontrarmos o Δ t temos que ter em mente que essa largura temporal é referente à meia altura do gráfico de E ( t ) , então temos que saber qual é metade do máximo do gráfico e saber em que t isso ocorre.

Mãos à obra então.

Passo 2

Vamos começar a resolver a nossa integral, temos:

E t = ∫ 0 ∞ e - ω Δ ω cos ⁡ ω t   d ω

Aplicando o método de integração por partes uma vez, temos:

∫ 0 ∞ e - ω Δ ω cos ⁡ ω t   d ω = - Δ ω e - ω Δ ω ⋅ cos ⁡ ω t 0 ∞ - t Δ ω ∫ 0 ∞ e - ω Δ ω sen ⁡ ω t   d ω

= ( 0 - Δ ω ) - t Δ ω ∫ 0 ∞ e - ω Δ ω sen ⁡ ω t   d ω

Aquele primeiro termo é zero pois e - ω Δ ω para ω = ∞ é zero, já que:

e - ω Δ ω = 1 e ω Δ ω

Logo temos um divido por um número muito grande.

Passo 3

Então chagamos ao seguinte:

∫ 0 ∞ e - ω Δ ω cos ⁡ ω t   d ω = Δ ω - t Δ ω ∫ 0 ∞ e - ω Δ ω sen ⁡ ω t   d ω

Agora vamos aplicar integral por partes mais uma vez, temos:

∫ 0 ∞ e - ω Δ ω cos ⁡ ω t   d ω = Δ ω - t Δ ω - Δ ω e - ω Δ ω ⋅ sen ⁡ ω t 0 ∞ + t Δ ω ∫ 0 ∞ e - ω Δ ω cos ⁡ ω t   d ω

= Δ ω - t Δ ω 0 - 0 + t Δ ω ∫ 0 ∞ e - ω Δ ω cos ⁡ ω t   d ω

Então temos que:

∫ 0 ∞ e - ω Δ ω cos ⁡ ω t   d ω = Δ ω - t 2 Δ ω 2 ∫ 0 ∞ e - ω Δ ω cos ⁡ ω t   d ω

Agora vamos isolar as integrais do mesmo lado, assim temos:

∫ 0 ∞ e - ω Δ ω cos ⁡ ω t   d ω + t 2 Δ ω 2 ∫ 0 ∞ e - ω Δ ω cos ⁡ ω t   d ω = Δ ω

⇒ 1 + t 2 Δ ω 2 ∫ 0 ∞ e - ω Δ ω cos ⁡ ω t   d ω = Δ ω

Então finalmente temos que:

∫ 0 ∞ e - ω Δ ω cos ⁡ ω t   d ω = Δ ω 1 + t 2 Δ ω 2

⇒ E t = Δ ω 1 + t 2 Δ ω 2

Passo 4

Agora vamos ver a largura temporal, temos:

E t = Δ ω 1 + t 2 Δ ω 2

Essa função é máxima em t = 0 , onde temos:

E 0 = Δ ω

Então a meia altura é em Δ ω / 2 . Agora vamos achar o t onde isso ocorre e assim teremos Δ t .

Temos que:

Δ ω 2 = Δ ω 1 + t 2 Δ ω 2

⇒ 1 2 = 1 1 + t 2 Δ ω 2

⇒ 1 + t 2 Δ ω 2 = 2

Assim ficamos com:

t 2 Δ ω 2 = 1

⇒ t = 1 Δ ω

Logo temos que

Δ t = 1 Δ ω

Como podemos ver a largura temporal (ou tempo de coerência) é o inverso da largura espectral (ou largura de frequência). Então quanto mais frequências tivermos no nosso pacote de onda teremos um menor tempo de coerência.

Resposta

t = Δ ω 1 + t 2 Δ ω 2

Δ t = 1 Δ ω

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