Enunciado

11. Seja δ ω a diferença entre as frequências angulares de duas raias espectrais que estão no limite do poder separador de uma rede de difração, e δ t a diferença entre tempos de percurso de dois raios difratados pelas extremidades da rede na direção de observação dessas raias. Demonstre que δ ω   δ t ~ 2 π .

Passo 1

Tudo beleza? Então vem comigo que vamos resolver esse problema.

Para conseguir mostrar o que o enunciado pede teremos que achar uma expressão para δ ω e para δ t e multiplicá-los e ver o que encontramos.

Temos que ω = 2 π f , então δ ω = 2 π δ f , então teremos que encontrar uma expressão para δ f no limite do poder separador quando temos:

λ m é d δ λ = m N

Então vamos ter que usar a relação entre comprimento de onda e frequência dada por c = λ f .

Para encontrar δ t que é a diferença entre os tempos de percurso dos raios difratados vamos usar o fato de que a diferença de percurso entre os raios do topo e de baixo é:

l = N d sen ⁡ θ

E que a relação de tempo e distância para uma velocidade c é:

t = l c

Vamos em busca do que nos interessa então.

Passo 2

No limite do poder separador, temos:

λ m é d δ λ = m N

Onde temos que:

δ λ = λ 2 - λ 1

Usando a relação que mostrei no passo para λ , temos:

δ λ = c f 2 - c f 1 = c f 1 - f 2 f 1 f 2

Fazendo f 1 - f 2 = δ f , temos:

δ λ = c f 1 f 2 δ f = λ 1 λ 2 c δ f

Passo 3

Agora vamos pegar esse δ λ e substituir na fórmula do poder separador, temos:

λ m é d δ λ = m N

⇒ δ λ = λ m é d m N

⇒ λ 1 λ 2 c δ f = λ m é d m N

Temos que:

δ f = λ m é d m N c λ 1 λ 2

Agora como já comentamos mais acima, temos:

δ λ = λ 2 - λ 1

⇒ λ 2 = λ 1 + δ λ

Fazendo essa consideração podemos escrever o seguinte:

λ m é d = λ 2 + λ 1 2 = λ 1 + δ λ 2

Multiplicando os dois lados por 2 λ 1 , temos:

λ 1 λ 2 + λ 1 2 = 2 λ 1 2 + λ 1 δ λ

⇒ λ 1 λ 2 = λ 1 2 + λ 1 δ λ

Considerando δ λ muito pequeno, temos:

λ 1 λ 2 = λ 1 2

λ m é d = λ 1

Assim ficamos com:

δ f ≅ λ 1 m N c λ 1 2

= c m N λ 1

⇒ δ f ≅ c m N λ m é d

Com isso temos que:

δ ω ≅ 2 π c m N λ m é d

Passo 4

Agora vamos em busca do δ t .

Vamos chamar de l 1 o percurso do raio de cima e de l 2 o percurso do de baixo, assim temos que:

l 2 - l 1 = l = N d sen ⁡ θ

O tempo que l 1 leva para char ao ponto é:

t 1 = l 1 c

O tempo de l 2 é:

t 2 = l 2 c

Da relação mais acima temos que l 2 = l + l 1 , assim temos:

t 2 = l + l 1 c

= t 1 + N d s e n ⁡ θ c

Passando t 1 para o outro lado ficamos com:

δ t = N d s e n ⁡ θ c

Passo 5

Agora vamos realizar a multiplicação de δ ω e δ t , temos:

δ ω   δ t = 2 π c m N λ m é d N d se n ⁡ θ c

= 2 π d sen ⁡ θ m λ m é d

Agora usando o fato de que para franjas de interferência temos:

m λ m é d = d sen ⁡ θ

Logo:

δ ω   δ t = 2 π

Pronto, chegamos no que o enunciado queria.

Resposta

Demonstrado acima.

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