Enunciado

A corda A está esticada entre duas presilhas separadas por uma distância L . A corda B , com a mesma massa específica linear e a mesma tensão que a corda A , está esticada entre duas presilhas separadas por uma distância 4 L . Considere os primeiros oito harmônicos da corda B . Para quais dos oito harmônicos de B a frequência coincide com a frequência (a) do primeiro harmônico de A , (b) do segundo harmônico de A e (c) do terceiro harmônico de A ?

Passo 1

Ok, vamos escrever uma fórmula geral da frequência de ressonância em cada corda:

f A = n v A 2 L A

f B = n v B 2 L B

Tá, o que mais a gente sabe? Pra começar, as cordas têm a mesma massa específica linear ( μ ) e a mesma tensão ( T ), ou seja, a velocidade da onda nas duas é a mesma, pois:

v = T μ

v A = v B = v

Além disso, a questão disse que o comprimento da corda B é quatro vezes o da corda A :

L A = L

L B = 4 L

E no final das contas ficamos com as seguintes equações:

f A = n v 2 L

f B = n v 8 L

Passo 2

(a) Agora queremos saber o seguinte: Entre os primeiros oito harmônicos da corda B , quais tem a mesma frequência do primeiro harmônico da corda A ?

Bom, a frequência do primeiro harmônico da corda A acontece quando n = 1 , então:

f A 1 = v 2 L

E qual valor de n entre 1 e 8 , faz com que:

f B = n v 8 L = v 2 L

n 8 = 1 2

n = 4

Ou seja, o quarto harmônico.

Passo 3

(b) Agora a pergunta é quase a mesma, mas queremos igualar ao segundo harmônico da corda A :

f A 2 = 2 v 2 L = v L

f B = n v 8 L = v L

n 8 = 1

n = 8

Ou seja, o oitavo harmônico.

Passo 4

(c) Agora queremos igualar ao terceiro harmônico da corda A :

f A 3 = 3 v 2 L

f B = n v 8 L = 3 v 2 L

n 8 = 3 2

n = 24 2 = 12

Mas aí nós já saímos dos primeiros oito harmônicos, ou seja, nenhum dos harmônicos permitidos no enunciado produz essa igualdade.

Resposta

(a) O quarto harmônico.

(b) O oitavo harmônico.

(c) Nenhum dos primeiros oito harmônicos.

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