Enunciado

Afinando um instrumento. Um músico afina a corda C de seu instrumento para uma frequência fundamental igual a 65,4 Hz. O comprimento da seção da corda que vibra é igual a 0,600 m e a massa é igual a 14,4 g. (a) Qual é a tensão com a qual ela deve ser esticada? (b) Qual deve ser o aumento percentual da tensão para fazer a frequência aumentar de 65,4 Hz até 73,4 Hz, correspondendo a um aumento de altura da nota C para a nota D?

Passo 1

Fala galera, bora lá! Para resolver este problema, vamos colocar em prática nosso conhecimento sobre ondas mecânicas. Sendo mais especifico, determinaremos o comprimento de onda através do comprimento da corda. Em seguida utilizando as equações (15.1) e (15.13) da bibliografia (expostas abaixo), calcularemos a velocidade da onda e a tensão, respectivamente.

v = f λ     e       v = F μ

Em que f é a frequência, v é a velocidade da onda, F   é a tensão na corda, λ   é o comprimento da onda e μ a densidade linear do mesmo.

Passo 2

(a) Determinaremos, neste item, qual é a tensão com a qual a corda deve ser esticada.

Lembrando inicialmente da relação λ = 2 L , podemos calcular o valor do comprimento de onda:

λ = 2 L = 2 0,60   m

λ = 1,20   m

Passo 3

Uma vez determinado o valor do comprimento de onda, utilizaremos a equação (15.1) para calcular a velocidade da onda:

v = 65,4 1 , 20 = 78,5   m / s

Deste modo, resta-nos determinar o valor da densidade linear da corda para, em seguida calcular a tensão. Assim:

μ = m L = 14,4 × 10 - 3 0,60

μ = 0,024   k g / m

Passo 4

Agora que detemos o valor de todas as variáveis, isolando a tensão na equação (15.13) e aplicando-a, obtém-se finalmente que:

F = μ v 2 = 0,024 78,5 2

Portanto, a corda deve ser esticada com uma tensão de

F = 148   N

Passo 5

(b) Nesta alternativa, por fim, determinaremos qual deve ser o aumento percentual da tensão para fazer a frequência aumentar de 65.4 Hz até 73.4 Hz, o que corresponde a um aumento de altura da nota C para a nota D.

Combinando as equações do passo 1, obtém-se que

F = μ f 2 λ 2

Ademais, observa-se que μ é uma propriedade da corda, logo, é constante, e que λ é determinando pelo comprimento da corda então este parâmetro também é constante. Assim, sendo constantes implica que:

F f 2 = μ λ 2 = c t e

F 1 f 1 2 = F 2 f 2 2

Passo 6

Isolando F 2 , na expressão acima e substituindo os valores conhecidos obtemos o valor da nova tensão:

F 2 = F 1 f 2 f 1 2

F 2 = 148 73,4 65,4 2 = 186   N

Por fim, conhecendo os dois valores de tensões, podemos finalmente calcular o aumento porcentual:

F 2 - F 1 F 1 = 186 - 148 148

F 2 - F 1 F 1 = 0,26 = 26 %

Resposta

  1. A corda deve ser esticada com uma tensão F = 148   N .
  2. O aumento percentual da tensão para fazer a frequência aumentar de 65.4 Hz até 73.4 Hz deve ser de 26 % .

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