Enunciado

Um corpo de 3,0 kg, que se move ao longo do eixo x, tem urna velocidade de +2,4 m/s quando passa pela origem. Ele está sujeito a uma força única, F x , que varia com a posição como mostrado na figura abaixo. a) Encontre o trabalho realizado pela força de x = 0.0 m até x = 2,0 m. (b) Qual é a energia cinética do corpo em x = 2,0 m? (c) Qual é a rapidez do objeto em x = 2,0 m? (d) Qual é o trabalho realizado sobre o corpo de x = 0,0 m até x = 4,0 m? (e) Qual é a rapidez do corpo em x = 4,0 m?

Passo 1

Letra (a)

Falaa!

Ele quer o trabalho realizado por F x sobre a partícula e a gente tem o gráfico que relaciona F como o deslocamento da partícula.

Lembra que o trabalho é dado pela área abaixo da curva do gráfico força versus deslocamento!

Como a força e o deslocamento são paralelos, no nosso caso, o trabalho realizado por F x é dado pela área do nosso gráfico entre x = 0 e x = 2   m .

Vamos calcular a área abaixo do gráfico contando quadradinhos. Tem mais ou menos 22 quadradinhos. A altura de um quadradinho 1 2 N e a largura é 1 4 m . Então o trabalho equivalente a um quadradinho é

w = 0,5   N 0,25   m = 0,125   J

Se temos 22 quadradinhos abaixo da curva até x = 2   m , então o trabalho nesse intervalo vai ser W = 22 w

W = 22 × 0,125   J = 2,75   J

Passo 2

Letra (b)

Queremos a energia cinética em x = 2   m . Cara, falou de trabalho e rapidez no mesmo contexto, cê pensa logo no teorema do trabalho-energia cinética. Olha a expressão dele:

W t o t a l = Δ E c

W t o t a l = E c , f i n a l - E c , i n i c i a l

Isso diz que o trabalho total feito em uma partícula é igual à variação de energia cinética.

E lembra que temos o trabalho total realizado sobre a partícula na direção x até x = 2   m   (o trabalho realizado por F x que calculamos no item a)

W = 2,75   J

E podemos calcular a energia cinética inicial em x = 0 porque ele deu a velocidade v nesse ponto e a massa m . Usando a expressão da energia cinética:

E c . i n i c i a l = m v 2 2

E c . i n i c i a l = 1 2 3,0   k g 2,4   m / s 2

Substituindo essas coisas no teorema, conseguimos achar a energia cinética final, que para esse caso, é a energia cinética em x = 2 m .

W t o t a l = E c , f i n a l - E c , i n i c i a l

E c , f i n a l = W + E c , i n i c i a l

E f i n a l = 2,75 J + 1 2 3,0   k g 2,4   m / s 2

E f i n a l = 11,4   J

Passo 3

Letra (c)

Pela energia achada no item (b), tiramos a rapidez do objeto. Como? Usando a expressão da energia cinética em x = 2 m :

E = 1 2 m v 2

Isolando o v :

v = 2 E m

Substituindo os valores, lembrando que E é a energia cinética em x = 2   m que calculamos no passo anterior:

v = 2 ( 11,4   J ) 3,0   k g = 2,8   m / s

Passo 4

Letra (d)

Novamente vamos calcular a área abaixo do gráfico de x = 0 até x = 4 para achar o trabalho realizado. Mas repara que temos uma área cima do eixo horizontal e abaixo dele.

A área abaixo dele vai entrar negativa na nossa continha porque ali a força mudou de sentido (já que F x fica negativa). Então vamos contar quantos quadrados temos acima do eixo horizontal e abaixo:

- acima: 35, entram positivos

- abaixo: 9, entram negativos

Um quadrado vale w = 0,125   J . Assim o trabalho entre x = 0 e x = 4 fica:

W = 35 w - 9 w = 26 w

W = 26 0,125   J

W = 3,25   J

Passo 5

Letra (e)

Vimos que pelo teorema trabalho-energia:

W t o t a l = E c , f i n a l - E c , i n i c i a l

O ponto inicial é a origem e o final é x = 4 m , de onde queremos a rapidez.

Substituindo a expressão da energia cinética para cada termo:

W = 1 2 m v f 2 - 1 2 m v i 2

Queremos v f , então vamos isolar essa bonita:

1 2 m v f 2 = W + 1 2 m v i 2

v f = 2 m W + 1 2 m v i 2

Subsituindo os dados e lembrando que calculamos W no item anterior:

v f = 2 3,0   k g 3,25   J + 1 2 3,0   k g 2,4   m / s 2

v f = 2,8   m / s

Resposta

Letra (a): 2,75   J

Letra (b): 11,4   J

Letra (c): 2,8   m / s

Letra (d): 3,25   J

Letra (e): 2,8   m / s

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