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Correndo o perigo de afundar no rio, uma criança está sendo levada pela correnteza, que flui uniformemente a 2,0   m / s . A criança encontra-se a 200   m da margem e 1.500   m rio acima do trapiche de onde uma equipe de resgate sai em seu socorro. Se o barco da equipe desloca-se 8,0   m / s com relação à água, em que ângulo com a margem do rio o piloto deve orientar o barco a fim de ir diretamente até a criança?

Passo 1

Bom, o problema envolve velocidades relativas, a correnteza do rio se move a 2,0   m / s enquanto o barco se move 8,0   m / s em relação ao rio, o que significa que a velocidade do barco para quem está olhando da margem é:

v b / m → = v r i o → + v b / r →

Sendo que v b / m → é a velocidade do barco em relação à margem e v b / r → é a velocidade do barco em relação ao rio.

Tirando o módulo:

v b / m = v r i o 2 + v b / r 2

Substituindo os valores:

v b / m = 2,0   m / s 2 + ( 8,0   m / s ) 2

v b / m = 68   m / s ≅ 8,25   m / s

Esse vai ser o módulo da velocidade do barco em relação à margem, vamos chamar ela de v .

Passo 2

Vamos dar uma olhada no seguinte esquema:

Como dá para ver, a criança começa seu movimento em x = 200   m e y i = 1500   m , mas não sabemos a posição final dela, que será quando a equipe de resgate vai chegar. Vamos então escrever a equação de movimento para a criança no eixo y :

y f = y i + v r i o t

Passo 3

O y f deve ser o mesmo para a equipe de resgate, e o x f da equipe de resgate deve ser igual a 200   m . As equações do eixo x e do eixo y para o barco da equipe vão ser:

x f = 0   m + v ( s e n θ ) t

y f = 0   m + v ( c o s θ ) t

Como a margem está na vertical, o cosseno da velocidade do barco em relação à margem que vai dar a componente y da velocidade.

Igualando as equações em y :

y i + v r i o t = v ( c o s θ ) t

Mas não temos o tempo, que será igual para os dois, já que queremos que o barco chegue na criança, vamos isolar ele na equação de x para fazer ele sumir:

t = x f v v b / m ( s e n θ )

Substituindo:

y i + v r i o x f v ( s e n θ ) = v ( c o s θ ) x f v ( s e n θ )

Vamos multiplicar toda a equação por v ( s e n θ ) :

y i v ( s e n θ ) + x f v r i o = x f v ( c o s θ )

E isolar de um lado tudo que envolve θ :

x f v ( c o s θ ) - y i v ( s e n θ ) = x f v r i o

Tirando fator comum e passando ele dividindo:

v ( x f c o s θ - y i s e n θ ) = x f v r i o  

x f c o s θ - y i s e n θ = x f v r i o v

Resolvendo a equação em relação a θ :

( 200   m ) c o s θ - ( 1500   m ) s e n θ = x f v r i o v

θ ≅ 0,10   r a d ≅ 5,73 °

Resposta

θ ≅ 5,73 °

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