Enunciado

36 . || Um cubo de gelo bem liso desliza dentro de um tubo horizontal liso com 20   c m de diâmetro interno, descrevendo uma trajetória em um plano vertical. Na parte mais inferior do tubo, a velocidade do cubo de gelo é de 3,0   m / s .

a . Quanto vale a velocidade do cubo no topo?

  b . Obtenha uma expressão algébrica para o módulo da velocidade do cubo quando este estiver em uma posição angular , onde este é um ângulo medido em sentido anti-horário a partir da parte inferior do tubo. Sua expressão deve resultar em 3,0   m / s e θ = 0 ° , e sua resposta ao item a, em θ = 180 ° .

c . Desenhe um gráfico de v versus θ   que cubra uma revolução inteira.

Passo 1

Essa questão exige uma atenção a mais em especial em trigonometria. Um esquema é:

Passo 2

a . Quanto vale a velocidade do cubo no topo?

Podemos usar o princípio da conservação de energia mecânica e mudar os dados conforme necessidade:

E a n t e s = E d e p o i s

Mas, em mecânica:

E = E C + E P

Assim:

E C + E P a n t e s = E C + E P d e p o i s    

Então:

m v 2 2 + m g h a n t e s = m v 2 2 + m g h d e p o i s    

Mas podemos por o m em evidencia em ambos os lados e simplifica-lo.

v 2 2 + g h a n t e s = v 2 2 + g h d e p o i s    

Lembrando de passar de c m pra m e t r o , e que num plano vertical o deslocamento vai ser exatamente o 20 c m   (é o nosso h !)

Então, substituindo os termos ficamos com:

( 3 m / s ) 2 2 + ( 9,8 m / s ) ( 0 ) a n t e s = v 2 2 + + ( 9,8 m / s ) ( 20 ⋅ 10 - 2 m ) d e p o i s    

2,25 m / s = v

Passo 3

b . Obtenha uma expressão algébrica para o módulo da velocidade do cubo quando este estiver em uma posição angular, onde este é um ângulo medido em sentido anti-horário a partir da parte inferior do tubo. Sua expressão deve resultar em 3,0   m / s e θ = 0 ° , e sua resposta ao item a, em θ = 180 ° .

Nós podemos pegar a nossa expressão deduzida:

v 2 2 + g h a n t e s = v 2 2 + g h d e p o i s    

Tratar cada termos separado, assim:

v i 2 2 + g h i = v f 2 2 + g h f

v i 2 2 = v f 2 2 + g h f - g h i

v i 2 = 2 ⋅ v f 2 2 + g h f - g h i

v i 2 = v f 2 + 2 g h f - 2 g h i

v i 2 = v f 2 + 2 g Δ h

Veja,

Por trigonometria o Δ h = R - R c o s θ =   R ( 1 - c o s θ )

Então nossa expressão fica:

v i 2 = v f 2 + 2 g R ( 1 - c o s θ )

v i = v f 2 + 2 g R ( 1 - c o s θ )    

Passo 4

c . Desenhe um gráfico de v versus θ   que cubra uma revolução inteira.

Pela expressão anterior o gráfico vai ser um cossenoide, dentro dos limites de velocidade:

Resposta

( a )

v = 2,25 m / s

( b )

v i = v f 2 + 2 g R ( 1 - c o s θ )    

( c )

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