Enunciado

Uma curva circular em uma rodovia é projetada para uma velocidade máxima de 60   k m / h . Suponha que os carros não possuem sustentação negativa. (a) Se o raio da curva é 150   m , qual é o ângulo de compensação correto? (b) Se a curva não fosse compensada, qual deveria ser o menor coeficiente de atrito entre os pneus e o piso para que os carros não derrapassem ao entrarem na curva a 60   k m / h ?

Passo 1

Oá, querido! Tudo bem? Então, temos uma curva por onde os carros precisam passar.

E aí quando a gente fala de curva, a gente fala de movimento com trajetória circular. E sem tem trajetória circular, é necessário que haja um aceleração centrípeta atuando no carro e apontando para o centro da trajetória, para manter o carro no movimento circular.

Ela tem essa expressão:

a c = v 2 R

Onde R é o raio da curva.

Só que essa aceleração é produzida pela componente de uma força que atua sobre o carro e aponta para o centro da trajetória. Se a gente considerar que a trajetória é horizontal, a gente precisa de uma componente de uma força que seja horizontal.

E aí uma força que pode fazer esse papel é a componente x da força normal N . Como assim?

Bem, já percebeu que algumas pistas de corrida são um pouco inclinadas nas curvas? Esse ângulo de inclinação é o ângulo de compensação. Ele faz com que a força normal sobre o carro fique inclinada:

Percebe que se não houvesse essa inclinação, não teria componentes de força na horizontal? Mas com a inclinação, a força que faz papel de força centrípeta é a componente x de N .

E aí o que ele quer da gente é o valor desse ângulo θ sabendo que a velocidade na curva é de v = 60   k m / h . Bora lá!

Passo 2

A gente fez um diagrama de corpo livre do carro. E isso não foi só para visualizar o ângulo θ . Se tem diagrama de corpo livre, a gente aplica a segunda lei de Newton no carro! Para o eixo y vamos ter:

∑ F y = m a y

Nessa direção não há movimento então a y = 0 . Para cima a gente tem a componente vertical de N que vale N x = N cos ⁡ θ , porque o ângulo θ está colado no eixo y . E para baixo temos a força peso. Então o somatório fica:

N x - P = 0

Subtituindo as expressões de cada uma:

N cos ⁡ θ - m g = 0       e q . 1

Para o eixo x :

∑ F x = m a x

Nesse caso a gente só tem a componente x de N que vale N x = N sin ⁡ θ e a x é a aceleração centrípeta que vale a c = v 2 R . Substituindo essas coisas:

N x = m a c

N sin ⁡ θ = m v 2 R       e q . 2

Passo 3

Isolando o N na e q . 1 :

N = m g cos ⁡ θ

Substituindo este valor na e q . 2 :

m g tan ⁡ θ = m v 2 R

Assim, isolando tan ⁡ θ :

tan ⁡ θ = v 2 R g       e q . 3

Por fim, para determinar o ângulo de compensação, devemos isolar o ângulo θ na e q . 3 :

θ = tan - 1 ⁡ v 2 R g

Passo 4

Para substituir os valores dado no enunciado, devemos primeiro converter as unidades.

Perceba que o raio foi dado em metros e a velocidade em quilômetros por hora. Então, vamos passar converter a unidade da velocidade de k m / h para m / s , para isso, dividiremos o valor dado por 3,6 . Assim:

v = 60 3,6 = 16,67   m / s

Portanto,

θ = tan - 1 ⁡ v 2 R g

θ = tan - 1 ⁡ 16,67 2 150 × 9,8 = 10,7 °

Passo 5

b) Bem, se não há θ , e a pista é plana, precisamos de outra força que faça o papel de força centrípeta. A força vai ser a força de atrito entre os pneus do carro e pista.

Aí ele quer saber o valor de coeficiente de atrito nesse caso μ . Vamos usar a segunda lei de Newton de novo. Para o eixo y :

∑ F y = m a y → ∑ F y = 0

N - P = 0

N - m g = 0

N = m g       e q . 4

Passo 6

E no eixo x :

∑ F x = m a x

E aqui só temos a força de atrito que vale F a t = μ N e a aceleração centrípeta a x = a c = v 2 / R :

F a t = m a c

μ N = m v 2 R     e q . 5

Portanto, substituindo na e q . 5 a e q . 4 :

μ N = m v 2 R

μ m g = m v 2 R

Isolando μ :

μ = v 2 R g

μ = 16,67 2 150 × 9,8 = 0,19

Resposta

  1. θ = 10,7 ° ;
  2. μ k = 0,19 .
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