Enunciado

O custo do ar-condicionado de uma casa é aproximadamente proporcional à taxa em que o calor é absorvido pela casa do seu ambiente, dividido pelo coeficiente de desempenho (COP) do ar-condicionado. Vamos denotar a diferença de temperatura entre a temperatura interna e a externa como Δ T . Supondo que a taxa na qual o calor seja absorvido por uma casa seja proporcional a Δ T e que o ar condicionado esteja operando idealmente, mostre que o custo do ar-condicionado é proporcional a Δ T 2 dividido pela temperatura dentro da casa.

Passo 1

Bom, o coeficiente de desempenho deve ser escrito em termos da quantidade de energia que o ar-condicionado gasta para manter a diferença de temperatura entre o interior e o exterior da casa. Para escrevermos essa relação vamos relacionar a taxa em que o calor é absorvido com a taxa de energia utilizada:

C O P = d Q / d t d W / d t

Passo 2

E para o fato do ar-condicionado estar operando idealmente, podemos escrever o valor máximo que o coeficiente pode assumir pela razão entre a temperatura do interior com a diferença de temperatura:

C O P = T f r i o ∆ T

Igualando as duas equações:

d Q / d t d W / d t = T f r i o ∆ T

E isolando a taxa de energia consumida:

d W d t = d Q d t ∆ T T f r i o

Passo 3

Utilizando a equação de potência podemos reescrever a taxa de calor transferido:

P = d Q d t = k ∆ T

Ficamos com:

d W d t = k ∆ T 2 T f r i o

Separando os diferenciais e integrando:

W = k ∆ T 2 T f r i o ∆ t

Passo 4

E por fim, podemos escrever o custo como sendo o produto da energia consumida W com o preço da unidade de energia:

C = u W

Substituindo a equação de W:

C = u k ∆ T 2 T f r i o ∆ t

Logo, o custo é proporcional a ∆ T 2 T f r i o .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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