Enunciado

(a) Dar apoio à afirmação de que um condensador com fugas (para o qual a resistência do dielétrico é finita) pode ser modelado como um condensador que tem uma resistência infinita em paralelo com uma resistência. (b) Mostrar que a constante de tempo para descarregar este condensador é dada por τ = k ϵ 0 ρ . (Para simplificar, assumir que o condensador é uma variedade de placas paralelas preenchidas completamente com um dielétrico com fugas). (c) Mica tem uma constante dielétrica igual a cerca de 5,0 e uma resistividade igual a cerca d e   9,0   ×   10 13   Ω ⋅ m . Calcular o tempo necessário para que a carga de um condensador cheio de mica diminua para 10 por cento do seu valor inicial.

Passo 1

Eae galera! Belezinha? Vamos lá! Para responder o item a), vamos pensar no condensador com fugas como uma combinação resistência/capacitor, a queda de tensão através da resistência deve ser a mesma que a queda de tensão através do condensador. Por seguinte, devem estar em paralelo.

Passo 2

Para o item b), assumiremos que o condensador está inicialmente totalmente carregado, aplicar a regra do laço de Kirchhoff ao fragmento do circuito para obter:

Q C - R I = 0

Mas,

I = - d Q d t

Logo,

Q C + R d Q d t = 0

Separando variáveis nessa equação, teremos:

d Q Q = - 1 R C d t

A capacitância de um capacitor de placas pararelas é dada por:

C = k ϵ 0 A d

A resistência do condutor com as mesmas dimensões é dada por:

R = ρ d A

O produto de R e C é:

R C = ϵ 0 ρ k

Passo 3

Substituindo pela equação diferencial:

d Q Q = - 1 ϵ 0 ρ k

Integrando a equação de Q ' = Q 0 para obter:

Q = Q 0 e - t / τ , onde τ = ϵ 0 ρ k

Fechou?? Então simbora pro item c). Como:

Q Q 0 = 0.1

e - t / τ = 0.1

Resolvendo para t pegando o logaritmo natural, resolvemos da seguinte forma:

- t τ = ln ⁡ 0.1 → t = - ϵ 0 ρ k l n ( 0.1 )  

Agora, partindo pro abraço, vamos aplicar os valores numéricos:

t = - 8.854 × 10 - 12 9 × 10 13 5 ln ⁡ 0.1 = 9,17 × 10 3   s → 2.5   h

Resposta

b ) τ = ϵ 0 ρ k

c ) t = 2.5   h

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