Enunciado

A definição do parâmetro de deslocamento para o vermelho z é dada no Exemplo 44.9. a) Mostre que a Equação (44.13) pode ser escrita como 1 + z = [ ( 1 + β ) / ( 1 - β ) ]   1 / 2 , onde β = v / c . b) O parâmetro de deslocamento para o vermhleo observado por certa galáxia é z = 0,500 . Calcule a velocidade da galáxia em relação à Terra, se o deslocamento para o vermelho é devido ao deslocamento Doppler. c) Use a lei de Hubble para encontrar a distancia dessa galáxia e a Terra.

Passo 1

a) Para mostrarmos o que a letra (a) pede, vamos começar pela definição do parâmetro de deslocamento retirada do Exemplo 44.9:

1 + z = 1 + λ 0 - λ s λ 0 = λ 0 λ s

E usar a Equação 44.13, que é:

λ 0 = λ s c + v c - v

Substituindo na parte direita da definição:

1 + z = c + v c - v

Tirando c como fator comum:

1 + z = c c 1 + v / c 1 - v / c

1 + z = 1 + v / c 1 - v / c

E como o enunciado diz para a gente que β = v / c , podemos colocar ele na equação:

1 + z = 1 + β 1 - β

E isso vai ser exatamente o que o enunciado pediu para a gente encontrar:

1 + z = 1 + β 1 - β = 1 + β 1 - β 1 2

Passo 2

b) Como queremos a velocidade da galáxia, precisamos isolar β na equação do último passo, já que ele que envolve a velocidade do corpo que estamos estudando:

β = 1 + z 2 - 1 1 + z 2 + 1

Substituindo o valor do parâmetro que o enunciado deu:

β = 1 + 0,5 2 - 1 1 + 0,5 2 + 1 = 0,3846

E agora pela relação entre β e a velocidade, a gente consegue calcular ela:

v = β c = ( 0,3846 ) ( 3,0 × 10 8   m / s )

v = 1,15 × 10 8   m / s

Lembrando que c é a velocidade da luz no vácuo (ou aproximadamente no ar).

Passo 3

c) Usando a lei de Hubble para calcularmos a distância entre a Terra e a galáxia em questão:

v = H 0 r

r = v / H 0

Substituindo o valor da velocidade da galáxia que calculamos ainda há pouco e a constante de Hubble H 0 :

r = 1,15 × 10 8   m / s 2,3 × 10 - 18   s - 1

r = 5,0 × 10 25   m

Resposta

a )   v = 1,15 × 10 8   m / s

b )   r = 5,0 × 10 25   m

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em um determinado referencial, uma partícula tem momento de 6,00 MeV / ce energia total de 8,00 MeV. (a) Determine a massa da partícula. (b) Qual é a energia total da partícula em um referencial no qu
Uma partícula de massa 1,0 MeV / c2 e energia cinética 2,0 MeV colide com uma partícula estacionária de massa 2,0 MeV / c2. Após a colisão, as partículas se unem. Encontre (a) a velocidade da primeira
Mostre que d m 0 u 1 - u 2 c 2 = m 0 1 - u 2 c 2 - 3 2 . Nota: Esta relação foi usada para derivar a expressão relativisticamente correta para a energia cinética (Equação 39-22).
Se a energia cinética de uma partícula é igual a duas vezes sua energia de repouso, que porcentagem de erro é cometida usando p = mu para a magnitude de seu momento?
Um antipróton p tem a mesma massa m que um próton p. O antipróton é criado durante a reação p + p → p + p + p + p. Durante um experimento, prótons em repouso no laboratório são bombardeados com próton