Enunciado

Demonstre que a Eq. 38-17 é uma solução da Eq. 38-16 substituindo ψ ( x ) e a derivada segunda de ψ ( x ) na Eq. 38-16 e mostrando que o resultado é uma identidade.

Passo 1

Bom, nosso objetivo é demonstrar que a função ψ x = A e i k x + B - i k x é solução da equação

d 2 ψ d x 2 + k 2 ψ = 0

Para isso, temos que tomar as derivadas de ψ :

d ψ d x = i k A e i k x - i k B e - i k x

Derivando novamente,

d 2 ψ d x 2 = i 2 k 2 A e i k x + i 2 k 2 B e - i k x = i 2 k 2 A e i k x + B - i k x

Como i 2 = - 1 :

d 2 ψ d x 2 = - k 2 ψ

Passo 2

Substituindo essa segunda derivada na equação:

d 2 ψ d x 2 + k 2 ψ = - k 2 ψ + k 2 ψ = 0

Provamos assim que que ψ = A e i k x + B - i k x é solução da equação 38-16.

Resposta

Demonstração.

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