Enunciado

Demonstre, para o caso geral de polarização elíptica (5.29), que o ângulo ψ entre o eixo maior da elipse de polarização e o eixo O x é dado por (fig.)

tan ⁡ 2 ψ = tan ⁡ 2 α cos ⁡ δ

Onde

tan ⁡ α ≡ b / a

Passo 1

Bom, vamos dar uma olhada nas equações de polarização que o enunciado mencionou:

E x = a cos ⁡ Φ E y = b cos ⁡ Φ + δ

Onde Φ = k z - ω t . Beleza, como a gente relaciona isso com uma forma geométrica? O livro faz essa demonstração e até dá uma fórmula. Vamos repassar isso bem rápido.

Primeiro a gente isola Φ nas duas equações:

cos ⁡ Φ = E x a cos ⁡ Φ + δ = E y b

Você pode usar uma identidade trigonométrica na segunda equação:

E y b = cos ⁡ Φ + δ = cos ⁡ Φ cos ⁡ δ + sen ⁡ Φ sen ⁡ δ

E y b = cos ⁡ Φ cos ⁡ δ + sen ⁡ Φ sen ⁡ δ

E o cos ⁡ Φ a gente já sabe, porque é a segunda equação. Mas dá pra usar aquela famosa relação cos 2 ⁡ Φ + sen 2 ⁡ Φ = 1 e encontrar o seno também:

sen ⁡ Φ = ± 1 - E x a 2

Substituindo isso e o cos ⁡ Φ = E x / a na equação de antes:

E y b = cos ⁡ Φ cos ⁡ δ + sen ⁡ Φ sen ⁡ δ

E y b = E x a cos ⁡ δ ± 1 - E x a 2 sen ⁡ δ

Então:

± 1 - E x a 2 sen ⁡ δ = E y b - E x a cos ⁡ δ

E finalmente, elevando os dois lados ao quadrado:

E y b 2 - 2 E y b E x a cos ⁡ δ + E x a 2 cos 2 ⁡ δ = 1 - E x 2 a 2 sen 2 ⁡ δ

Juntando esses termos que dependem de E x e usando cos 2 ⁡ δ + sen 2 ⁡ δ = 1 :

E y b 2 - 2 E y b E x a cos ⁡ δ + E x a 2 = sen 2 ⁡ δ

Ok! Agora vamos interpretar essa equação.

Passo 2

Quando a gente tem uma elipse certinha, com os semieixos alinhados com O x e O y , a equação dela tem essa forma geral aqui:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

No nosso caso, a gente tem uma situação mais parecidas com isso aqui:

x 2 a 2 - 2 x y + y 2 b 2 = d

Aquele termo ali no meio, que a gente chama de termo quadrático misto é um aviso: ele diz que a nossa elipse foi rotacionada por algum ângulo!

O nosso problema aqui é: que ângulo é esse?

Passo 3

Então tá, vamos supor que a nossa elipse é “certinha” no plano η , ξ , como na figura do enunciado.

A nossa equação é:

E y b 2 - 2 E y b E x a cos ⁡ δ + E x a 2 = sen 2 ⁡ δ

Se a gente rotacionar essa equação, pra escrever nas coordenadas E ξ e E η , aquele termo quadrático misto deve sumir!

Aqui é hora de lembrar de um resultado importante lá da geometria analítica. Quando você tem uma equação desse tipo aqui:

a 1 x 2 + b 1 x y + c 1 y 2 + d 1 x + e 1 y + f 1 = 0

E quer aplicar uma rotação por um ângulo θ pra encontrar uma equação nessa forma aqui:

a 2 u 2 + c 2 v 2 + d 2 u + e 2 v + f 2 = 0

Existe uma fórmula pra saber qual é o ângulo θ que faz esse termo misto sumir! É essa aqui:

cot ⁡ 2 θ = a 1 - c 1 b 1

E olhando para a nossa equação, os coeficientes são:

a 1 = 1 / a 2 b 1 = - 2 b a cos ⁡ δ c 1 = 1 / b 2

Substituindo isso na fórmula de cima:

cot ⁡ 2 θ = 1 / a 2 - 1 / b 2 - 2 cos ⁡ δ / a b

Beleza, agora vamos simplificar um pouco.

Passo 4

Primeiro resolvemos essa soma de frações no numerador:

cot ⁡ 2 θ = 1 / a 2 - 1 / b 2 - 2 cos ⁡ δ / a b = a 2 - b 2 / a 2 b 2 - 2 cos ⁡ δ / a b

cot ⁡ 2 θ = a 2 - b 2 / a b - 2 cos ⁡ δ

Mas essa é a cotangente do ângulo. Invertendo os dois lados, vamos ficar com o tangente:

tan ⁡ 2 θ = - 2 a b a 2 - b 2 cos ⁡ δ

Agora dividindo em cima e embaixo por b 2 :

tan ⁡ 2 θ = - 2 a / b a 2 / b 2 - 1 cos ⁡ δ

E levando aquele sinal negativo para o denominador:

tan ⁡ 2 θ = 2 a / b 1 - a 2 / b 2 cos ⁡ δ

Agora aquele termo ali em colchetes parece muito com uma identidade trigonométrica importante!

tan ⁡ 2 α = 2 tan ⁡ α 1 - tan 2 ⁡ α

Ou seja, se tan ⁡ α = a / b , a gente pode reescrever aquela equação de cima como:

tan ⁡ 2 θ = tan ⁡ 2 α cos ⁡ δ

Pronto! Provamos a fórmula do enunciado! Esse θ é o ângulo de rotação entre os sistemas, que o enunciado chamou de ψ :

tan ⁡ 2 ψ = tan ⁡ 2 α cos ⁡ δ

Agora sim!

Resposta

Demonstração.

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