Enunciado

Demonstre a Eq. 38-11, a equação usada para calcular o deslocamento de Compton, a partir das Eqs. 38-8, 38-9 e 38-10, eliminando ν e θ .

Passo 1

O enunciado pede para demonstrarmos uma equação através de outras. Vamos primeiro escrever as equações que precisamos para resolvermos a questão. A Eq. 38-8 é:

h λ = h λ ' + m c ( γ - 1 )

A Eq. 38-9:

h λ = h λ ' c o s ϕ + γ m ν c o s θ

E a Eq. 38-10:

0 = h λ ' s e n ϕ - γ m ν s e n θ

Passo 2

Podemos reescrever a segunda equação da seguinte forma:

h m λ - h m λ ' c o s ϕ = γ ν c o s θ

E como γ = 1 / 1 - ν c 2 , fica assim:

h m λ - h m λ ' c o s ϕ = ν c o s θ 1 - ν c 2

A gente também pode reescrever a última equação como:

h m λ ' s e n ϕ = ν s e n θ 1 - ν c 2

Passo 3

Se a gente elevar as duas equações que a gente obteve ao quadrado, e somarmos as duas equações, vamos ter o seguinte:

h m 2 1 λ - 1 λ ' c o s ϕ 2 + 1 λ ' s e n ϕ 2 = ν 2 1 - ν c 2

Nessa equação a gente usou a relação trigonométrica s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 1 para fazer θ desaparecer, como o enunciado pede.

Passo 4

Pegando só o lado direito da última equação:

ν 2 1 - ν c 2

E reescrevendo como:

ν 2 1 - ν c 2 = c 2 1 1 - ν c 2 - 1

A equação fica o seguinte:

h m 2 1 λ - 1 λ ' c o s ϕ 2 + 1 λ ' s e n ϕ 2 = c 2 1 1 - ν c 2 - 1

Passando c 2 para o outro lado dividindo e o - 1 do final somando, fica:

1 1 - ν c 2 = h m c 2 1 λ - 1 λ ' c o s ϕ 2 + 1 λ ' s e n ϕ 2 + 1

Passo 5

E como a gente ainda não tinha usado a Eq. 38-8, vamos escrever ela do seguinte jeito:

h m 1 λ - 1 λ ' = c ( γ - 1 )

h m c 1 λ - 1 λ ' + 1 = γ

h m c 1 λ - 1 λ ' + 1 = 1 1 - ν c 2

Elevando ela ao quadrado, o lado direito da equação vai ficar o mesmo que o lado direito da equação que a gente calculou no Passo 4, e então podemos igualar as duas:

h m c 1 λ - 1 λ ' + 1 2 = 1 1 - ν c 2

h m c 2 1 λ - 1 λ ' c o s ϕ 2 + 1 λ ' s e n ϕ 2 + 1 = 1 1 - ν c 2

h m c 1 λ - 1 λ ' + 1 2 = h m c 2 1 λ - 1 λ ' c o s ϕ 2 + 1 λ ' s e n ϕ 2 + 1

Depois aplicamos a identidade s e n 2 ϕ + cos 2 ⁡ ϕ = 1 , na equação, depois de organizar os fatores para ficarmos com:

λ - λ ' = ∆ λ = h m c ( 1 - c o s ϕ )

Que é o deslocamento de Compton.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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