Enunciado

Dentro de uma esfera de raio R e de densidade ρ existe uma cavidade esférica de raio a . A distância entre os centros O e O ' da esfera e da cavidade é d . (a) Para um ponto P externo, alinhado com os centros O e O ' e à distância r de O , calcule a razão entre o campo gravitacional (força por unidade de massa) da esfera com a cavidade e aquele que existiria se a esfera fosse maciça (sem cavidade). (b) Calcule o campo gravitacional (em módulo, direção e sentido) num ponto P ' qualquer situado dentro da cavidade.

Passo 1

Essa questão é casca grossa! Vamos com calma pra cima dela. Bora lá!

O campo gerado pela esfera maciça, a uma distância r do seu centro, é igual a:

g 1 = G M 1 r 2

Mas a massa pode ser escrita em função da densidade e do volume:

g 1 = G 4 3 ρ π R 3 r 2

g 1 = 4 G ρ π R 3 3 r 2

Beleza. A esfera menor tem seu centro a uma distância r - d do ponto P , então:

g 2 = G M 2 r - d 2

Da mesma forma, vamos usar a densidade e o o volume dela:

g 2 = G 4 3 ρ π a 3 r - d 2

g 2 = 4 G ρ π a 3 3 r - d 2

Passo 2

O macete aqui é a gente considerar que a cavidade tem massa negativa! Isso permite que a gente faça que o campo da esfera com cavidade é o campo total menos o campo da cavidade. Sacou? Então fica assim:

g = g 1 - g 2

Mas a gente quer a razão disso com a esfera maciça!

g g 1 = g 1 - g 2 g 1

g g 1 = 1 - g 2 g 1

Substituindo o que encontramos no primeiro passo:

g g 1 = 1 - 4 G ρ π a 3 3 r - d 2 4 G ρ π R 3 3 r 2

g g 1 = 1 - a 3 r 2 r - d 2 R 3

Dividindo o numerador e o denominador por r 2 , vamos obter:

g g 1 = 1 - a R 3 ⋅ 1 1 - d r 2

Passo 3

Agora a brincadeira vai virar vetorial! A força gravitacional em um ponto r → , ligado a partir do centro, fica assim:

F → = - G M m r → 2 ⋅ r → r →

Essa massa M é calculada assim:

M = 4 3 ρ π r → 3

Então a força vai ser:

F → = - G 4 3 ρ π r → 3 m r → 2 ⋅ r → r →

F → = - 4 G ρ π m 3 r →

Então o campo feito pelas duas forças juntas fica assim:

g = F 1 → - F 2 → m

g = - 4 G ρ π 3 r 1 → - r 2 →

Mas aí na nossa figura, r 1 → = O P → e r 2 → = O ' P → . Aí a gente lembra lá da teoria de vetores!

r 1 → - r 2 → = O O ' →

Então o campo é:

g = - 4 G ρ π 3 O O ' →

Resposta

g g 1 = 1 - a R 3 ⋅ 1 1 - d r 2

g = - 4 G ρ π 3 O O ' →

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