Enunciado

Na figura, dois blocos de mesma massa m = 2,00   k g estão pendurados em cordas de comprimentos diferentes nas extremidades de uma balança situada na superfície da Terra. As cordas têm massa desprezível, e a diferença de comprimento entre as cordas é h = 5,00   c m . Suponha que a Terra é esférica e homogênea, com massa específica ρ = 5,50   g / c m 3 . Qual é a diferença de peso entre os blocos devido ao fato de um dos blocos estar mais próximo do centro da Terra do que o outro?

Passo 1

Vamos começar encontrando a massa da Terra a partir da massa específica ρ que foi dada no enunciado?

M = ρ V

E precisamos usar a fórmula para o volume de uma esfera de raio R :

M = ρ   4 3 π R 3

Antes de substituir os valores, vamos converter ρ para k g / m 3

ρ = 5,50 g c m 3 = 5,50 10 - 3 k g 10 - 6   m 3 = 5,50.10 3   k g / m 3

E então:

M = ( 5,50.10 3 )   4 3 π R 3

Passo 2

Agora vamos analisar a força gravitacional que age sobre cada um dos blocos. Em geral, a força gravitacional é dada por:

F = m a g = m G M r 2

Na superfície da Terra, temos r = R t , e queremos saber qual é a variação Δ F quando vamos para uma altura r = R + h :

Δ F = m G M R 2 - G M R + h 2

Vamos colocar G M / R 2 em evidência:

Δ F = m G M R 2 - G M R 2 1 + h R 2

Então:

Δ F = G M m R 2 1 - 1 + h R - 2

Passo 3

Agora podemos expandir aquele termo entre parênteses por uma expansão binomial, mas tomando apenas os termos com potência menor do que 2 :

1 + x - n = 1 - n x + …

Então, para n = 2 :

1 + h R - 2 = 1 - 2 h R

Vamos substituir isso na fórmula de cima:

Δ F = G M m R 2 1 - 1 - 2 h R

Δ F = G M m R 2 2 h R = 2 G M h m R 3

Agora vamos substituir a expressão que encontramos para M :

Δ F = 2 G h m R 3   ( 5,50.10 3 )   4 3 π R 3

Δ F = 8 π 3 ( 5,50.10 3 )   G h m

E então:

Δ F = 8 π 3 5,50.10 3 6,67.10 - 11 0,05 ( 2,00 )

Δ F = 3,07   .   10 - 7   N

Resposta

A diferença de peso seria de 3,07   .   10 - 7   N .

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