Enunciado

Para reduzir o congestionamento das estradas entre duas cidades como Boston e Washington, os engenherios propuseram a construção de um túnel de estrada de ferro ligando diretamente as duas cidades. Um trem sem motor partindo do repouso, desceria durante a primeira parte da viagem e subiria durante a segunda parte, até chegar ao destino. Supondo que a Terra é uma esfera homogênea e ignornado as forças de atrito, calcule o tempo de duração da viagem.

Passo 1

A grande dificuldade nessa questão é o fato de que a força gravitacional varia conforme a distância do trem até o centro da Terra também varia.

Precisamos achar uma expressão que dê o módulo dessa força para cada posição do trem no interior da Terra.

Pelo teorema das cascas esféricas, sabemos que a gravidade no interior da Terra é dada por:

F g = - G M m R 3 r

Passo 2

Mas a força que impulsiona o trem ao longo do túnel não é exatamente F g , mas sim a sua projeção na direção do túnel:

∑ F x = F g sen ⁡ θ

E, pelo desenho, podemos reescrever o seno através dos valores de x (distância percorrida ao longo do túnel) e r :

∑ F x = - G M m R 3 r   x r

∑ F x = - G M m R 3 x

Então, pela segunda lei de Newton:

m d 2 x d t = - G M m R 3 x

m d 2 x d t + G M m R 3 x = 0

Agora podemos dividir tudo por m :

d 2 x d t + G M R 3 x = 0

Passo 3

Essa é a famosa equação do oscilador harmônico. Nesse caso, nós sabemos que o termo que multiplica x é o quadrado da frequência angular do movimento:

ω 2 = G M R 3

ω = G M R 3

Agora vamos reescrever ω em função do período T que queremos calcular:

2 π T = G M R 3

T = 2 π G M R 3

Agora vamos substituir os valores numéricos:

T = 2 π ( 6,67.10 - 11 ) ( 5,9 8 . 10 24 ) 6,37.10 6 3 = 5057   s

Mas T é o período de uma oscilação completa (ida e volta), e só queremos a duração do trajeto entre as duas cidades, ou seja:

Δ t = T 2 = 5057 2 = 2529   s

Δ t ≅ 42,1   m i n

Resposta

O tempo de duração da viagem é 42,1 minutos.

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