Enunciado

Desafinada. A corda B de uma guitarra feita de aço (densidade igual a 7800   k g / m 3 ) possui comprimento igual a 63,5   c m e diâmetro igual a 0,406   m m . A frequência fundamental é f = 247,0   H z .

a) Ache a tensão na corda.

b) Quando a tensão F varia de uma pequena quantidade ∆ F , a frequência f varia de uma pequena quantidade ∆ f . Mostre que

∆ F F = 1 2 ∆ f f

c) A corda é afinada como no item (a) quando sua temperatura é igual a 18,5   ° C . Um uso contínuo excessivo pode fazer a temperatura da corda aumentar, alterando sua frequência de vibração. Obtenha ∆ f quando a temperatura da corda aumenta para 29,5   ° C . A corda de aço possui módulo de Young igual a 2,0 ⋅ 10 11   P a e um coeficiente de dilatação linear igual a 1,2 ⋅ 10 - 5 ° C - 1 . Suponha que a temperatura do corpo da guitarra permaneça constante. A altura do som aumenta ou diminui?

Passo 1

Para uma corda a frequência é:

f n = n 2 L F / μ  

Sabemos que na frequência fundamental n = 1 .

Passo 2

a) Para encontrar a tensão na corda vamos isolar F na equação da frequência:

F = 4 L 2 f 2 μ

μ pode ser escrito da seguinte forma:

μ = π r 2 ρ

Desta forma a tensão é:

F = 4 L 2 f 2 π r 2 ρ

Substituindo os valores:

F = 4 0,635   m 2 247,0   H z 2 π 0,203 ⋅ 10 - 3 m 7800   k g / m 3

F = 99,4   N

Passo 3

b) Uma pequena variação da frequência é ∆ f que vale:

∆ f = ∆ 1 2 L F / μ   = 1 2 L μ ∆ F 1 2 = 1 2 L μ 1 2 ∆ F F

Dividindo ambos os lados por f ,temos:

∆ f f = 1 2 L μ 1 2 ∆ F F 1 2 L F / μ   = 1 2 ∆ F F

Passo 4

c) O coeficiente de temperatura α é definido por:

∆ l = l 0 α ∆ T

A deformação de Young é:

Y = ∆ F / A ∆ l / l 0

Combinando as duas equações temos:

∆ F = Y α A ∆ T

Substituindo os valores, obtemos:

∆ F = 2,00 ⋅ 10 11 P a 1,20 ⋅ 10 - 5 ° C π 11   ° C = 3,4 N

Desta forma:

∆ F F = 99,4 3,4 = 0,034

Sendo assim ∆ f será:

∆ f f = 1 2 ∆ F F

∆ f = 1 2 ⋅ 0,034 ⋅ 247 = 4,2   H z

Como a frequência diminuiu a altura do som também diminiu.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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