Enunciado

Um objeto de 5,00   k g que repousa em uma superfície horizontal sem atrito está preso a uma mola com k = 1000   N / m . O objeto é deslocado horizontalmente 50,0   c m a partir da posição de equilíbrio e recebe uma velocidade inicial de 10,0   m / s na direção da posição de equilíbrio. Qual é (a) a frequência do movimento. (b) a energia potencial inicial do sistema massa-mola, (c) a energia cinética inicial e (d) a amplitude do movimento?

Passo 1

(a) É achar que essa velocidade inicial faria a frequência ser um pouco maior do que seria normalmente, mas isso não acontece.

A fórmula da frequência continua sendo a mesma, e só depende da massa m e da constante elástica k .

f = 1 2 π k m

Substituindo os valores:

f = 1 2 π 1000 5 = 2,25   H z

Passo 2

(b) Quando temos uma massa presa a uma mola conhecemos bem a fórmula da energia potencial:

U = 1 2 k x 2

Onde x é o deslocamento em relação à posição de equilíbrio. A questão pediu a energia potencial inicial, ou seja, temos que saber o deslocamento x 0 inicial. Mas esse valor a questão já deu!

x 0 = 50,0   c m = 0,5   m

U 0 = 1 2 k x 0 2

U 0 = 1 2 1000 0,5 2 = 125   J

Passo 3

(c) A fórmula da energia cinética é:

K = 1 2 m v 2

Se a gente quiser achar a energia cinética inicial, vamos ter que substituir a velocidade inicial na fórmula, e a questão já deu esse valor também!

K 0 = 1 2 m v 0 2

K 0 = 1 2 5,00 10 2 = 250   J

Passo 4

(d) Agora queremos saber a amplitude do movimento.

Ok, vamos pensar. A gente sabe que a energia total (mecânica) é constante ao longo do movimento, certo? E acabamos de ver que a energia cinética inicial era:

K 0 = 250   J

E a potencial inicial era:

U 0 = 125   J

Ou seja, a energia total inicial era:

E 0 = 250 + 125 = 375   J

E se essa era a energia total nesse momento, também vai ser a energia inicial em todos os outros momentos!

Beleza, agora é só lembrar de como a energia total se relaciona com a amplitude do movimento:

E = 1 2 k x m 2

Obs.: Isso é simplesmente a energia do sistema quando a mola está totalmente comprimida. Nesse momento, a energia cinética é nula e o deslocamento da mola é a amplitude do movimento.

Agora substituindo os valores:

375 = 1 2 1000 x m 2

x m 2 = 2 375 ( 1000 ) = 0,750

x m = 0,750 = 0,866   m

Pronto!

Resposta

(a) f = 2,25   H z

(b) U o = 125   J

(c) K 0 = 250   J

(d) x m = 0,866   m

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