Enunciado

Um detector estacionário mede a frequência de uma fonte sonora que se aproxima em linha reta, passa pelo detector e se afasta, mantendo velocidade constante. A frequência emitida pela fonte é f . A frequência detectada durante a aproximação é f a p ' e a frequência detectada no afastamento é f a f ' . Se ( f a p ' - f a f ' ) / f = 0,500 , qual é a razão v F / v entre a velocidade da fonte e a velocidade do som?

Passo 1

Olá, tudo bem? Vamos treinar um pouco de efeito Doppler?

Vamos começar com a frequência de aproximação f a p ' .

O observador está em respouso, então v o = 0 . A fonte está se aproximando do observador, então sua velocidade v F é negativa. Assim, da fórmula do deslocamento de frequências temos:

f a p ' = f v v - v F

Assim a razão f a p ' / f é:

f a p ' f = 1 1 - v F v

Show! Vamos para a frequência de afastamento?

Passo 2

A frequência de afastamento f a f ' vai ter o mesmo observador, então v o = 0 . fonte está se afastando do observador, então sua velocidade v F é positiva.

Sabendo dos sinais, das velocidades e da frequência da fonte, basta aplicar na fórmula do efeito Doppler:

f a f ' = f v v + v F

A razão f a f ' / f é:

f a f ' f = 1 1 + v F v

Passo 3

Agora vamos usar o fato de que temos a diferença entre as razões que calculamos nos dois passos anteriores!

f a p ' f - f a f ' f = 1 1 - v F v - 1 1 + v F v

f a p ' f - f a f ' f = 1 + v F v - 1 + v F v 1 2 - v F v 2

f a p ' f - f a f ' f = 2 v F v 1 - v F v 2  

Mágico né? Agora é só substituir o valor fornecido no lado esquerdo e manipular um pouco a equação:

0,5 = 2 v v F 1 - v F v 2

0,5 1 - v F v 2 = 2 v v F

- 0,5 v v F 2 - 2 v v F + 0,5 = 0

Dividindo por -0,5:

v v F 2 + 4 v v F - 1 = 0

Resolvendo a equação de segundo grau:

v v F = - 2 ± 5

Mas só queremos a raiz positiva:

v v F = - 2 + 5

v v F = 0,236

Resposta

v v F = 0,236

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