Enunciado

Um dipolo elétrico é um par de cargas iguais e opostas, + q e - q , separadas por uma distância d . O momento de dipolo elétrico p → associado ao dipolo é o vetor p → = q d → , onde d → = d e d → aponta de - q para + q (figura). Considere um dipolo elétrico situado num campo elétrico E → uniforme.

a) Mostre que a resultante das forças elétricas aplicadas ao dipolo é nula, mas que o torque resultante é dado por τ → = p → × E → (em relação a qualquer ponto).

b) Mostre que a energia potencial do dipolo no campo (Seç. 7.5) é dada por U = - p → ⋅ E → . Identifique as situações de equilíbrio estável e instável do dipolo no campo.

Passo 1

Para resolver o item (a), você deve lembrar algo do ensino médio: uma carga q sob ação de um campo elétrico E → sofre uma uma força dada por

F → = q E →

Se a carga é positiva, a força terá o mesmo sentido do campo. Se ela for negativa, terá sentido contrário. A seguir desenhamos a situação considerando F → + a força que atua sobre + q e F → - a força que atua sobre - q :

Note que a força resultante é nula:

F → r e s = F → + + F → - = q E → + - q E → = 0 →

Esse sistema consiste num binário (ver figura 11.30 do livro): um par de forças iguais e contrárias aplicadas em pontos diferentes com linhas de ação diferentes. Nesse tipo de sistema, a força resultante é sempre nula, mas o torque não é!

Passo 2

O enunciado disse para provar que o torque com relação a qualquer ponto é τ → = p → × E → . Para isso, vamos tomar como referência um ponto genérico O cuja posição é r → O . As posições das cargas + q e - q são, respectivamente, r → + e r → - . O torque com relação ao ponto O é dado por

τ → O = r → - - r → O × F → - + r → + - r → O × F → +

Note que r → - - r → O é a posição da carga - q (onde age a força) com relação ao ponto O . O mesmo vale para r → + - r → O . Lembre-se que na expressão do torque, temos que usar a posição onde age a força relativa ao ponto de referência que escolhemos!

Substituindo F → - = - q E → e F → + = q E → , obtemos

τ → O = - q r → - - r → O × E → + q r → + - r → O × E →

Note que com isso, temos que

τ → O = - q   r → - × E → + q   r → O × E → + q   r → + × E → - q   r → O × E →

Observe que o termo q   r → O × E → é cancelado, sobrando

τ → O = q   r → + - r → - × E →

Já provamos aqui que esse torque não depende do ponto O , pois o vetor r → O sumiu. Assim, podemos escrever simplesmente:

τ → = q   r → + - r → - × E →

Essa expressão é válida para qualquer ponto. Por fim, observe que

r → + - r → - = d →

O vetor d → liga a carga - q a carga + q . Assim,

τ → = q d → × E →

Bom, mas como p → = q d → , provamos que

τ → = p → × E →

Passo 3

Agora vamos para o item (b). Para calcular a energia potencial, fazemos integrais do tipo

∫ F → ⋅ d r →

Então de resolver o problema, vou fazer uma pequena digressão: para deslocamentos infinitesimais que podem ser intereprtados como uma rotação, temos que

d r → = d θ → × r →

Assim,

F → ⋅ d r → = F → ⋅ d θ → × r →

Esse é o conhecido produto misto, que satisfaz a propriedade

a → ⋅ b → × c → = b → ⋅ c → × a →

Assim,

F → ⋅ d θ → × r → = d θ → ⋅ r → × F →

Mas como τ → = r → × F → , temos que

F → ⋅ d r → = d θ → ⋅ τ →

Por fim, como o produto escalar naõ depende da ordem:

F → ⋅ d r → = τ → ⋅ d θ →

Assim,

∫ F → ⋅ d r → = ∫ τ → ⋅ d θ →

Passo 4

No nosso problema, θ é o ângulo que o campo forma com o dipolo. Vimos no item (a) que

τ → = p → × E →

Assim,

τ → = p E   s e n   θ

Além disso, o torque está na direção - z (apontando para dentro da tela), enquanto o vetor d θ → está na direção + z (para fora da tela), já que é perpendicular ao plano de rotação. Assim, temos que

τ → ⋅ d θ → = - p E   s e n   θ   d θ

A energia potencial é dada normalmente por

U r → - U r → 0 = - ∫ r → 0 r → F → ⋅ d r →

Nesse caso, ela será uma função de θ e pode ser adaptada para

U θ - U θ 0 = - ∫ θ 0 θ τ → ⋅ d θ → = p E ∫ θ 0 θ s e n   θ   d θ

Fazendo a integral, obtemos

U θ - U θ 0 = - p E cos ⁡ θ - - p E cos ⁡ θ 0

Vamos definir que para θ 0 = 90 ° , U θ 0 = 0 . Isso significa que a energia potencial é nula quando o dipolo é perpendicular ao campo. Essa convenção é arbitrária e só define o nível zero de energia. Com isso, achamos que

U θ = - p E cos ⁡ θ

Isso pode ser escrito como

U = - p → ⋅ E →

A energia será máxima para p → e E → forem antiparalelos, pois nesse caso cos ⁡ θ = - 1 e será mínimo se eles forem paralelos, pois assim, cos ⁡ θ = + 1 . No primeiro, temos uma situação de equilíbrio instável, enquanto no segundo ele é estável.

Resposta

Demonstração.

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