Enunciado

Dois adultos e uma criança querem empurrar uma caixa apoiada sobre rodas na direção do ponto marcado com x na figura 4.36 . Os dois adultos empurram com forças horizontais F 1 → e F 2 → como mostra a figura.

  1. Ache o módulo, a direção e o sentido da menor força que a criança deve exercer. Ignore os efeitos do atrito.
  2. Se a criança exercer a força mínima determinada pelo item a ) , a caixa acelera a 2 m / s 2 na direção + x . Qual é o peso da caixa?

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos diz que dois adultos e uma criança querem empurrar uma caixa apoiada sobre rodas na direção do ponto marcado com x :

Os dois adultos empurram com forças horizontais F 1 → e F 2 → indicadas na figura.

Dado: ignore o atrito.

Queremos encontrar módulo, a direção e o sentido da menor força que a criança deve exercer.

Para isso, devemos fazer um diagrama de corpo livre a fim de analisar as componentes das forças!!

Depois que encontrarmos a força, o enunciado nos pede para calcularmos o peso P da caixa dado que ela acelera a 2   m / s 2 .

Para isso, devemos utilizar a segunda Lei de Newton:

F r e s → = m a →

Onde a força resultante sobre um corpo é dada pelo produto de sua massa m pela aceleração a .

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

a) A gente quer saber que força mínima deve ser aplicada pela criança para que eles possam mover a caixa somente na horizontal.

Vamos fazer um desenho pra melhor representar a situação sem a força da criança.

Os módulos das forças F → 1 e F → 2 (realizadas pelos dois adultos) estão representados em vermelho e verde respectivamente.

Para a gente movimentar essa caixa só no sentido de x , precisamos que não haja movimento em y . Ou seja, que haja equilíbrio de forças nesse eixo.

Se quisermos adicionar uma força (realizada pela criança) que seja a menor possível, então queremos manter a condição de que na direção vertical não há movimento.

Passo 3

Sendo assim, a soma de todas componentes verticais deve ser zero. As componentes verticais das forças F → 1 e F → 2 são:

F 1 y = F 1 sin ⁡ 60 ° = 100 ⋅ 0,8660 = 86,60 N

F 2 y = - F 2 sin ⁡ 30 ° = - 140 ⋅ 0,5 = - 70 N

A componente de F 2 fica negativa porque ela aponta para a parte negativa de y .

E quando adicionarmos uma força F 3 y associada a criança, temos que manter tudo em equilíbrio:

∑ F y = 0

F 1 y + F 2 y + F 3 y = 0

Substituindo os valores temos:

86,6 - 70 + F 3 y = 0

F 3 y = - 86,6 + 70 = - 16,6 N

E a componente horizontal deve ser nula, porque aí teremos que essa força só tem componente nesse eixo e o seu módulo é esse que achamos.

Se houvesse algum valor para a componente em x , o módulo da força aumentaria (não seria o mínimo que queremos).

Assim a força mínima que a criança deve fazer é:

F → 3 = - 16,6 j →

Passo 4

b) Agora o problema pergunta qual o peso da caixa. Relembrando como se calcula a força peso temos:

P → = m ⋅ g

Precisamos da massa dessa caixa! Mas pera aí, isso não foi dado no exercício!

Mas saca só, o problema nos diz o valor da aceleração que a caixa está sendo submetida!

Daí lembrando-se da segunda lei de Newton tem que a soma de todas as forças sobre um sistema vai ser proporcional ao produto da massa pela aceleração:

F r e s → = ∑ F → = m a →

F r e s x = ∑ F x = m a x

Já temos a aceleração, e sabemos que ela é na direção de x , então agora vamos dar uma olhadinha novamente no desenho e ver qual é a força resultante.

Passo 5

Temos a ação dos dois adultos e podemos, assim como fizemos no item anterior, decompor para achar a componente horizontal.

As componentes horizontais das forças são:

F 1 x = F 1 cos ⁡ 60 ° = 100 ⋅ 0,5 = 50 N

F 2 x = F 2 cos ⁡ 30 ° = 140 ⋅ 0,866 = 121,2 N

E a força resultante sobre a caixa vai ser a soma dessas duas componentes (lembrando que a força com que a criança empurra a caixa é apenas na direção vertical, não conta na resultante de forças na horizontal):

F → r e s = 50 + 121,1 i → = 171,1 N   i →

Passo 6

Show! Agora que sabemos a força resultante e a aceleração, podemos determinar a massa:

F → r e s = m ⋅ a

m = F → r e s a = 171,1 2 = 85,6 k g

E assim podemos finalmente calcular o peso:

P → = m ⋅ g = 85,6 ⋅ 9,8 = 840 N

Resposta

a ) - 16,6 N j →

b ) 840 N

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