Enunciado

Dois arames são presos à esfera de 300   g mostrada na FIGURA P D 8.61 . A esfera descreve um círculo horizontal com uma velocidade de módulo constante de 7,5   m / s . Quanto vale a tensão em cada arame?

Passo 1

Olá, tudo bem?

Vou ajudar você nessa aqui, vamos lá?

O problema pede a tensão em cada fio, então precisamos de um desenho para identificar as forças agindo nesse sistema:

Sobre a bolinha agem três forças: as duas tensões (representadas em amarelo e em vermelho) e a força gravitacional (representada em azul).

Como a bolinha não tem deslocamento vertical, isso indica que nessa direção a força resultante é zero. Já na horizontal, como temos um movimento circular, a resultante das forças deve ser radial e apontar para o centro da trajetória.

Os dois arames medem cada um 1 m de comprimento, certo? E a distância entre o ponto de fixação de cada um na haste também vale 1 m ( 0,5 m + 0,5 m ), logo o sistema todo forma um triângulo equilátero de lado 1 ! A soma dos ângulos internos de um triângulo vale 180 ° , e, como todos os lados desse triângulo são iguais, cada vértice forma um ângulo de 60 ° com os lados. A linha tracejada vertical e horizontal forma um eixo de coordenadas no qual a bolinha está localizada na origem, então o ângulo entre os vetores das tensões em relação à horizontal é 30 ° .

Certo até aqui?

Passo 2

Agora vou fazer um desenho com as componentes horizontal e vertical de cada força com seus respectivos ângulos pra gente visualizar melhor a situação:

Vou chamar de T 1 o módulo do vetor amarelo, T 2 o módulo vetor vermelho e o da força peso, em azul, de P . A partir desse desenho, podemos formar o seguinte sistema:

T 1 cos ⁡ 30 °   + T 2 cos ⁡ 30 ° = m v 2 r T 1 s e n 30 ° - T 2 s e n 30 ° = P

Os dados que o problema nos dá são:

m = 0,3 k g

v = 7,5 m / s

E o raio da trajetória? Bom, chamando de l o comprimento do fio, podemos dizer que r = l cos ⁡ 30 ° .

Beleza? Agora que temos todas as informações, precisamos resolver esse sistema. Vamos lá?

Passo 3

Partindo o sistema:

T 1 cos ⁡ 30 °   + T 2 cos ⁡ 30 ° = m v 2 r T 1 s e n 30 ° - T 2 s e n 30 ° = P

Vamos dividir a primeira equação por cos ⁡ 30 ° :

T 1 + T 2 = m v 2 r c o s 30

E substituindo os valores teremos:

T 1 + T 2 = 0,3 7,5 2 1   c o s 30 ° ( c o s 30 ° ) = 22,5

E dividindo a segunda equação por s e n 30 ° temos:

T 1 - T 2 = P s e n 30 ° = m g 0,5 = 0,3 9,8 0,5 = 5,88

Assim ficamos com um sistema de duas variáveis e duas equações:

T 1 + T 2 = 22,5 T 1 - T 2 = 5,88

Agora fazendo a soma dessas duas equações eliminamos a variável T 2 :

2 T 1 = 28,38 ∴ T 1 = 14,19 N

E usando esse valor para calcular T 2 , da primeira equação temos:

T 1 + T 2 = 22,5

T 2 = 22,5 - T 1 = 22,5 - 14,19 = 8,31 N

Assim as duas tensões são:

T 1 = 14,19 N

T 2 = 8,31 N

Beleza?

Espero ter ajudado!

Vamos pra próxima?

Resposta

T 1 = 14,19 N

T 2 = 8,31 N

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