Enunciado

As dimensões de uma sala são 3,00   m (altura) X 3,70   m X 4,30   m . Uma mosca parte de um canto da sala e pousa em um canto diagonalmente oposto. (a) Qual é o módulo do deslocamento da mosca? (b) A distância percorrida pode ser menor que este valor? (c) Pode ser maior? (d) Pode ser igual? (e) Escolha um sistema de coordenadas apropriado e expresse as componentes do vetor deslocamento em termos de vetores unitários. (f) Se a mosca caminhar, em vez de voar, qual é o comprimento do caminho mais curto para o outro canto? (Sugestão: o problema pode ser resolvido sem fazer cálculos complicados. A sala é como uma caixa; desdobre as paredes para representá-las em um mesmo plano antes de procurar uma solução.)

Passo 1

Este é um problema que envolve a visualização do espaço tridimensional e, por isso, trabalha a noção vetorial.

Para entendermos melhor o que está se passando, vamos fazer uma ilustração representando a caixa e o deslocamento da mosca.

Nesta ilustração, o deslocamento da mosca é representado pela letra d , enquanto isso, podemos visualizar os lados da caixa, que pode ser considerada como sendo as componentes de um vetor d → .

Portanto, para resolver este problema, usaremos a definição de módulo de vetor:

A → = A x 2 + A y 2 + A z 2

Passo 2

Para determinar o deslocamento da mosca, podemos visualizar, como explicitado no passo anterior, os lados da caixa como as componentes do vetor deslocamento d → diagonal de ponto a ponto. Assim, utilizando a definição de módulo de vetor:

d = 4,3 2 + 3 2 + 3,7 2 = 6,42   m

Passo 3

Como a menor distância entre dois pontos é uma reta e, entre as duas quinas, a reta é a diagonal, então a mosca percorreu o menor caminho. Por isso, a distância percorrida pela mosca só pode ser maior ou igual, nunca menor.

Passo 4

Aproveitando a ilustração feita no passo inicial, vamos estabelecer o eixo de coordenada seguindo as arestas da caixa, de forma que:

Portanto, o nosso vetor deslocamento d → pode ser escrito em função dos lados da caixa:

d → = 4,3 i ^ + 3,0 j ^ + 3 , 7 k ^

Passo 5

Para determinar o menor caminho que a mosca faria andando para o mesmo deslocamento, o pulo do gato é deitar a parede no chão para encontrar a reta entre os dois pontos.

Essa ficou um pouco abstrata, né? Para melhorar a visualização, dá uma olhadinha na ilustração abaixo e pense numa visão superior, ok?

Então, para determinar essa distância, usamos Pitágoras:

d ' = 4,3 2 + ( 3 , 7 + 3,0 ) 2 = 7,96   m

Resposta

  1. d = 6,42   m ;
  2. N ã o ;
  3. S i m ;
  4. S i m ;
  5. d → = 4,3 i ^ + 3,0 j ^ + 3,7 k ^   m
  6. d ' = 7,96   m
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