Enunciado

Dois capacitores, um de capacitância igual a 4,00 μ F e outro de capacitância igual a 12,0   μ F , estão conectados em paralelo. A combinação em paralelo é, então, conectada aos terminais de uma bateria de 12,0   V . Depois, eles são cuidadosamente desconectados de maneira a que permaneçam carregados. Eles são, a seguir, conectados novamente um ao outro a placa positiva de cada capacitor conectada à placa negativa do outro.

(a) Determine a diferença de potencial em cada capacitor depois de eles terem sido conectados novamente.

(b) Determine a energia armazenada nos capacitores antes de eles terem sido desconectados da bateria, e determine a energia armazenada depois de eles terem sido conectados novamente.

Passo 1

Cara, o problema nos disse que inicialmente tínhamos dois capacitores carregados com a mesma tensão 12 V ...

Em seguida, a gente remove da fonte e conecta a placa positiva de uma na negativa da outra e vice versa...

Bem... Repare então que uma placa vai tender a neutralizar a outra fazendo então surgir uma corrente no circuito. A corrente só vai parar quando as tensões se igualarem a V nos dois ramos...

E o nosso intuito aqui é encontrar esse V , ta ok?

Passo 2

POW! Sabemos que a tensão se relaciona com capacitância por Q = C V , então se as tensões no final do processo atingem V , então podemos falar que para os dois capacitores é válida a relação...

V = Q 1 C 1 = Q 2 C 2   →

Agora... Quem são as cargas Q 1 e Q 2 ?

Essas são as cargas que se encontram na placa depois de muito tempo que os capacitores se encontram conectadas.

Se você reparar no sistema assim que conectamos os dois capacitores...

A carga negativa antes tende a neutralizar a carga positiva do outro capacitor, e o que sobra de carga no circuito após partes das cargas se neutralizarem é Q 1 + Q 2 , saca?

Q 1 + Q 2 = Q 2 i n i c i a l - Q 1 i n i c i a l

Q 2 i n i c i a l - Q 1 i n i c i a l significa justamente isso, que partes das cargas positivas vai cancelar com as cargas negativa do outro lado. Então bora calcular esses valores iniciais de cargas aí...

Passo 3

Pela teoria de capacitores, sabemos que...

Q 2 i n i c i a l = C 2 V i n i c i a l   →

Inicialmente no capacitor C 2 a tensão é V i n i c i a l = 12 V ...

Q 2 i n i c i a l = 12 ⋅ 10 - 6 ⋅ 12     →

Q 2 i n i c i a l = 144   μ C

E na placa 1 , a quantidade de cargas nela será...

Q 1 i n i c i a l = C 1 V i n i c i a l   →

Q 1 i n i c i a l = 4 ⋅ 10 - 6 ⋅ 12     →

Q 1 i n i c i a l = 48   μ C

Então veja bem, quando as placas são conectadas inversamente, após um tempo ligadas, a carga que vão sobrar sem se neutralizar será...

Q 1 + Q 2 = 144   μ C - 48   μ C   →

Q 1 + Q 2 = 96   μ C

Passo 4

Então voltando para a equação que determinamos no passo 2...

V = Q 1 C 1 = Q 2 C 2   →

Q 1 = C 1 Q 2 C 2   →

Substituindo nessa equação do passo 3...

C 1 Q 2 C 2 + Q 2 = 96   μ C

Como C 1 = 4   μ F e C 2 = 12 μ F ...

4 μ Q 2 12 μ + Q 2 = 96   μ C   →

Q 2 3 + Q 2 = 96   μ C   →

4 Q 2 3 = 96   μ C   →

Q 2 = 72 μ C  

A nova tensão então em cima de cada um deles será...

V = Q 2 C 2   →  

V = 72 μ C 12   μ F   →

V = 6 V  

Passo 5

L e t r a   B :

Vamos primeiro calcular a energia armazenada em cada capacitor antes então...

U A n t e s = U 1 + U 2   →

U A n t e s = 1 2 C 1 V 2 + 1 2 C 2 V 2 →

U A n t e s = 1 2 V 2 C 1 + C 2 →

U A n t e s = 1 2 12 2 4 μ + 12 μ →

Calculando isso aí...

U A n t e s = 72 16 μ →

U A n t e s = 1152   μ J

Agora, considerando que a nova tensão vale 6 V , ou seja, depois de terem sido reconectados, vamos recalcular as energias...

U D e p o i s = U 1 + U 2   →

U D e p o i s = 1 2 C 1 V 2 + 1 2 C 2 V 2 →

U D e p o i s = 1 2 V 2 C 1 + C 2 →

U D e p o i s = 1 2 6 2 4 μ + 12 μ →

Calculando isso aí...

U D e p o i s = 18 16 μ →

U D e p o i s = 288   μ J

Resposta

Letra A:

V = 6 V

Letra B:

U A n t e s = 1152   μ J

U D e p o i s = 288   μ J

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