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Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman - Capítulo 2.Problemas - Ex. 93

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Dois carros, A e B, se deslocam ao longo de uma linha reta. A distância de A ao ponto inicial é dada em função do tempo por x A t = α t + β t 2 , com α = 2,60   m / s e β = 1,2   m / s 2 . A distância de B ao ponto inicial é dada em função do tempo por x B t = γ t 2 - δ t 3 , onde γ = 2,80   m / s 2 e δ = 0,20   m / s 3 . a) Qual carro está na frente logo que eles saem do ponto inicial? b) Em que instante(s) os carros estão no mesmo ponto? c) Em que instante(s) a distância entre os carros A e B não aumenta nem diminui? d) Em que instante(s) os carros A e B possuem a mesma aceleração?

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui, nós precisamos calcular a derivada da função x ( t ) dada para encontrar a velocidade, v x .

E para que possamos encontrar a aceleração, a x , nós precisamos derivar novamente a função que já derivamos, ou seja, nós vamos derivar a função que encontramos para v x .

v x t = d x d t

E

a x t = d v x d t

Precisamos fazer isso para cada carro.

Relembrando como derivamos função de potencia:

d t n d t = n t n - 1

Passo 2

Para o carro A: x A t = α t + β t 2 , então,

v A x = d x A d t = α + 2 β t

E para encontrar a aceleração, derivamos v A x :

a A x t = d ( v A x ) d t = 2 β  

Passo 3

Para o carro B: x B t = γ t 2 - δ t 3 , então:

v B x = d x B d t = 2 γ t - 3 δ t 2

E para encontrar a aceleração, derivamos v B x :

a B x t = d ( v B x ) d t = - 2 γ - 6 δ t  

Passo 4

a) O carro que inicialmente se move à frente é o que tem o maior v 0 x .

Inicialmente, temos que t = 0 . Então vamos nas equações encontradas nos passos anteriores.

Para o carro A:

v A x = α + 2 β 0

v A x = α

Para o carro B:

v B x = 2 γ ⋅ 0 - 3 δ ⋅ 0 2

v B x = 0

Então, inicialmente, o carro A se move a frente.

Passo 5

Letra b)

Os carros no mesmo ponto implica em:

x A = x B

O que implica em:

α t + β t 2 = γ t 2 - δ t 3

Passo 6

Uma solução é fazer t = 0 , o que diz que eles começam do mesmo ponto.

Outra solução é encontrarmos um novo tempo. Dividindo tudo por t :

α t + β t 2 = γ t 2 - δ t 3 t

⇒ δ t 2 + β - γ t + α = 0

E em seguida aplicamos uma formulinha de Bhaskara:

Fazendo: a = δ b = β - γ c = α temos que:

t = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

⇒ t = - β - γ ± ( β - γ ) 2 - 4 ⋅ δ α 2 ⋅ δ

E sabendo que: α = 2,60   m / s     β = 1,2   m / s 2 γ = 2,80   m / s 2 δ = 0,20   m / s 3

t = - 1,2   m/ s 2 - 2,80   m/ s 2 ± ( 1,2   m/ s 2 - 2,80   m/ s 2 ) 2 - 4 ⋅ 0,20   m/ s 3 ⋅ 2,60   m/s 2 ⋅ 0,20   m/ s 3

t = 1,60   m/ s 2 ± 1,60   m/ s 2 2 - 4 ⋅ 0,20   m/ s 3   ⋅ 2,60   m/s   0,40   m/ s 3

t = 4 ± 1,73   s

Portanto:

x A = x B

Quando:

t = 0 ,     t = 2,27   s ,     t = 5,73   s

Passo 7

Letra c)

A distância de A a B é: x B - x A .

A taxa de mudança desta distância é dada pela derivada dessa distância em relação ao tempo, t :

d ( x B - x A ) d t

Se esta distancia não varia em função do tempo, t , isso significa que:

d ( x B - x A ) d t = 0

Mas isso nos diz que:

v B x - v A x = 0

Ou seja, a distância entre A e B não está diminuindo ou aumentando no instante em que eles têm a mesma velocidade.

Isso implica que:

v B x = v A x

α + 2 β t = 2 γ t - 3 δ t 2

⇒ 3 δ t 2 + 2 β - γ t + α = 0

Aplicando a formulinha de Bhaskara novamente:

Fazendo: a = 3 δ b = 2 ( β - γ ) c = α temos que:

t = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

⇒ t = - 2 ( β - γ ) ± 4 ( β - γ ) 2 - 12 δ α 6 δ

E sabendo que: α = 2,60   m / s     β = 1,2   m / s 2 γ = 2,80   m / s 2 δ = 0,20   m / s 3

t = 3,20   m/ s 2 ± 4 ( - 1,60   m/ s 2 ) 2 - 12 ⋅ 0,20   m/ s 3 ⋅ 2,60   m/s 1 , 20   m/ s 3

t = 2,667 ± 1,667   s

Portanto:

v B x = v A x

Quando:

t = 1   s ,     t = 4,33   s

Passo 8

Letra d)

Para que eles possuam a mesma aceleração, precisamos que:

a A x = A B x

2 β = 2 γ - 6 δ t  

Agora, como não temos um t 2 , podemos calcular o tempo, t , isolando-o:

⇒ t = γ - β 3 δ = 2,80   m/ s 2 - 1,20   m/ s 2 3 ⋅ 0,20   m/ s 3

t = 2,67   s

Resposta

  1. O carro A se move a frente.
  2. t = 0 ,   t = 2,27 s   e t = 5,73 s .
  3. t = 1 s e t = 4,33 s
  4. t = 2,67 s

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