Enunciado

Dois fios longos iguais, de raio a = 1,53   m m , são paralelos e conduzem correntes iguais em sentidos opostos. A distância entre os eixos centrais dos fios é d = 14,2   c m . Despreze o fluxo no interior dos fios, mas considere o fluxo na região entre os fios. Qual é a indutância dos fios por unidade de comprimento?

Passo 1

O problema diz que dois fios muito longos (vamos aproximar por fios infinitos) conduzem uma corrente i em sentidos contrários. Vamos posicionar o fio com corrente para baixo no eixo y e o outro fio (corrente para cima) com seu eixo na reta x = D . O raio dos fios é denotado por R .

Queremos o fluxo por unidade de comprimento na região entre os fios ( 0 < x < D ) . Para isso, vamos considerar a região retangular (em vermelho) com base D e altura L . O fluxo nessa região:

Φ B = ∫ B → T ⋅ d A → = ∫ 0 D B T x   L   d x = L   ∫ 0 D B T x   d x

B T x representa a soma do campo devido aos dois fios. Como o fio da esquerda tem corrente para baixo e o da direita para cima, os campos gerados entre os fios terão mesmo sentido (para fora da figura, isto é, na direção z positiva). Desta forma, os campos se somam:

B T = B 1 + B 2

Por fim, uma última simplificação que podemos fazer: note que há uma simetria com relação à reta x = D / 2 . O fluxo de x = 0 até x = D / 2 é igual ao fluxo de x = D / 2 até x = D (pense bem nisso antes de aceitar viu?). Assim,

Φ B = L   ∫ 0 D B T x   d x = 2 L   ∫ 0 D / 2 B 1 x + B 2 x   d x

Passo 2

Note que entre x = 0 e x = D / 2 , o campo magnético criado pelo fio 1 (fio da esquerda com corrente para baixo) é diferente para x < R (dentro do fio) e para x > R (fora do fio). Dentro do fio, o campo magnético cresce linearmente com x :

B 1 x = μ 0 i 2 π R 2 x             ( x < R )

Já fora do fio, temos à expressão clássica:

B 1 x = μ 0 i 2 π x           R < x < D 2

Essas expressões foram todas deduzidas e trabalhadas no capítulo 29. Já para o fio 2 (da direita com corrente para cima):

B 2 x = μ 0 i 2 π ( D - x )

Assim, o fluxo será

Φ B = 2 L μ 0 i 2 π   ∫ 0 R x R 2 d x + ∫ R D 2 1 x   d x + ∫ 0 D 2 1 D - x   d x

Mas antes de calcularmos essas integrais, lembre-se que devemos desconsiderar o fluxo dentro dos fios. Assim, a primeira integral deve ser desconsiderada e na última, o limite inferior de integração será x = R (não x = 0 ). Assim,

ϕ B = L μ o i π ∫ R D 2 1 x   d x + ∫ R D 2 1 D - x   d x

Fazendo as integrações:

ϕ B = L μ 0 i π   ln ⁡ D 2 R + ln ⁡ D - R D / 2 = L μ 0 i π ln ⁡ D - R R

Desta forma, o fluxo por unidade de comprimento entre os fios será:

ϕ B = Φ B L = μ 0 i π   1 2 + ln ⁡ 2 + ln ⁡ D 2 R = μ 0 i π ln ⁡ D - R R  

Passo 3

Sabemos que a indutância é definida por

L = ϕ B i

Assim, a indutância por unidade de comprimento dos fios será

L = μ 0 π ln ⁡ D - R R

Substituindo D = d = 14,2 ⋅ 10 - 2   m e R = a = 1,53 ⋅ 10 - 3   m , chegamos em

L = 1,81 ⋅ 10 - 6   H / m

Resposta

L = 1,81 ⋅ 10 - 6   H / m

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