Enunciado

Dois pêndulos idênticos, formados por partículas de massa m suspensas por barras de massa desprezível e comprimento l , estão ligadas um ao outro por uma mola de massa desprezível e constante elástica k , inicialmente relaxada, com os pêndulos na posição vertical de equilíbrio. Aplica-se à partícula 2 uma força F = F 0 cos ⁡ ω t . (a) Obtenha a solução estacionária para os deslocamentos x 1 t e x 2 t das duas partículas. (b) Trace gráficos representando o andamento das amplitudes de oscilação das duas partícula em função de ω .

Passo 1

(a) Vamos começar montando EDOs para as coordenadas x 1 t e x 2 t de cada um dos pêndulos.

Para o pêndulo da esquerda, que não tem sofre a ação de nenhuma força externa:

x ¨ 1 + ω 0 2 x 1 - k m x 2 - x 1 = 0

E para o pêndulo da direita, só precisamos mudar o sinal da força da mola e acrescentar a força externa F :

x ¨ 2 + ω 0 2 x 2 + k m x 2 - x 1 = F 0 m cos ⁡ ω t

Cuidado para não confundir a frequência angular ω 0 da mola com a frequência ω da força.

Ficamos então com um sistema de duas EDOs:

x ¨ 1 + ω 0 2 x 1 - k m x 2 - x 1 = 0 x ¨ 2 + ω 0 2 x 2 + k m x 2 - x 1 = F 0 m cos ⁡ ω t

Passo 2

Agora vamos fazer aquela substituição que é tão comum para problemas de oscilações acopladas:

q 1 = x 1 + x 2 2             ,           q 2 = x 2 - x 1 2

Somando as duas EDOs do sistema, ficamos com:

x ¨ 1 + x ¨ 2 + ω 0 2 x 1 + x 2 = F 0 m cos ⁡ ω t

Que pode ser reescrita como:

q ¨ 1 + ω 0 2 q 1 = F 0 2 m cos ⁡ ω t

E fazendo a segunda equação menos a primeira:

x ¨ 2 - x ¨ 1 + ω 0 2 x 2 - x 1 + 2 k m x 2 - x 1 = F 0 m cos ⁡ ω t

Que podemos reescrever como:

q ¨ 2 + ω 0 2 + 2 k m q 2 = F 0 2 m cos ⁡ ω t

q ¨ 2 + ω 1 2 q 2 = F 0 2 m cos ⁡ ω t

Então no final das contas ficamos com as seguintes equações:

q ¨ 1 + ω 0 2 q 1 = F 0 2 m cos ⁡ ω t q ¨ 2 + ω 1 2 q 2 = F 0 2 m cos ⁡ ω t           ,           ω 0 2 = g / l ω 1 2 = ω 0 2 + 2 k m

Passo 3

Agora vamos resolver a primeira equação:

q ¨ 1 + ω 0 2 q 1 = F 0 2 m cos ⁡ ω t

Vamos encontrar a solução particular (a solução estacionária que o enunciado pede), chutando que deve ter a seguinte forma:

q 1 t = C 1 cos ⁡ ω t

Substituindo na EDO:

- C 1 ω 2 cos ⁡ ω t + ω 0 2 C 1 cos ⁡ ω t = F 0 2 m cos ⁡ ω t

C 1 = F 0 2 m ω 0 2 - ω 2

E o resultado é o mesmo para a segunda equação, só mudando de ω 0 para ω 1 :

q 2 = C 2 cos ⁡ ω t

C 2 = F 0 2 m ω 1 2 - ω 2

Passo 4

Agora é só jogar isso tudo de volta em x 1 t e x 2 t :

x 1 = q 1 - q 2

x 2 = q 1 + q 2  

Então:

x 1 t = F 0 2 m 1 ω 0 2 - ω 2 - 1 ω 1 2 - ω 2 cos ⁡ ω t

x 2 t = F 0 2 m 1 ω 0 2 - ω 2 + 1 ω 1 2 - ω 2 cos ⁡ ω t  

Onde as frequências angulares são:

ω 0 2 = g / l ω 1 2 = ω 0 2 + 2 k m

Passo 5

E o enunciado pede para traçarmos os gráficos que representem as amplitudes dessas partículas:

A 1 ω = F 0 2 m 1 ω 0 2 - ω 2 - 1 ω 1 2 - ω 2

A 2 ω = F 0 2 m 1 ω 0 2 - ω 2 + 1 ω 1 2 - ω 2

Vamos fixar todas as constantes no valor de uma unidade, apenas a frequência ω 1 vai ser diferente:

ω 1 = ω 0 2 + 2 k m = 1 + 2 1 1 = 3   r a d / s

Nesse caso, o gráfico da amplitude A 1 é:

A 1 ω = F 0 2 m 1 ω 0 2 - ω 2 - 1 ω 1 2 - ω 2

E para a amplitude 2 :

A 2 ω = F 0 2 m 1 ω 0 2 - ω 2 + 1 ω 1 2 - ω 2

Resposta

Os deslocamentos são x 1 t = v 2 ω 1 sen ⁡ ω 1 t - v 2 ω 2 sen ⁡ ω 2 t e x 2 t = v 2 ω 2 sen ⁡ ω 2 t + v 2 ω 1 sen ⁡ ω 1 t , com ω 1 2 = k m e ω 2 2 = ω 1 2 + 2 K m .

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