Enunciado

Uma corda uniforme, de 20   m de comprimento e massa de 2   k g , está esticada sob uma tensão de 10   N . Faz-se oscilar transversalmente uma extremidade da corda, com amplitude de 3   c m e frequência de 5 oscilações por segundo. O deslocamento inicial da extremidade é de 1,5   c m para cima. (a) Ache a velocidade de propagação v e o comprimento de onda γ da onda progresiva gerada na corda. (b) Escreve, como função do tempo, o deslocamento transversal y de um ponto da corda situado à distância x da extremidade que se faz oscilar, após ser atingido pela onda e antes que ela chegue à outra extremidade. (c) Calcule a intensidade I da onda progressiva gerada.

Passo 1

(a) Vamos começar lembrando da fórmula para a velocidade de propagação de uma onda em uma corda:

v = T μ

Onde T é a tensão total sobre a corda e μ é a densidade linear. A tensão foi dada no enunciado, e a densidade linear é:

μ = M L = 2 20 = 0,1   k g / m

Então:

v = 10 0,1 = 10   m / s

Passo 2

E o comprimento de onda pode ser relacionado com a frequência f que também foi dada no enunciado:

v = λ f

10 = λ 5

λ = 2   m

Passo 3

(b) Para expressar esse deslocamento y vamos usar a equação geral da onda harmônica progressiva:

y x , t = A cos ⁡ k x - ω t + ϕ

A fórmula par ao número de onda k é:

k = 2 π λ = 2 π 2 = π

E a frequência angular é:

ω = 2 π f = 2 π 5 = 10 π

A amplitude já foi dada no enunciado:

A = 0,03   m

Então:

y x , t = 0,03 cos ⁡ π x - 10 π t + ϕ

E para determinar ϕ vamos usar uma condição inicial. O enunciado diz que a extremidade da corda ( x = 0 ) se encontra na posição y = 0,015   m no instante t = 0 , então:

y 0,0 = 0,015

0,03 cos ⁡ ϕ = 0,015

cos ⁡ ϕ = 1 2         ⇒         ϕ = π 3

Então a função é:

y x , t = 0,03 cos ⁡ π x - 10 π t + π 3

Onde y e x estão em metros e t está em segundos.

Passo 4

(c) Agora vamos lembrar da fórmula para a intensidade de uma onda progressiva:

I = 1 2 μ v ω 2 A 2

I = 1 2 0,1 10 10 π 2 0,03 2

I = 0,44   W

Resposta

(a) v = 10   m / s e λ = 2   m .

(b) y = 0,03 cos ⁡ π x - 10 π t + π 3 . Onde y e x devem estar em metros e t em segundos.

(c) I = 0,44   W .

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