Enunciado

Duas barras delgadas de comprimento L estão sobre o eixo O x , uma delas entre os pontos x = a / 2 e x = a / 2 + L e a outra entre os pontos x = - a / 2 e x = - a / 2 - L . Cada barra possui uma carga Q distribuída uniformemente ao longo de seu comprimento. a Calcule o campo elétrico produzido pela segunda barra nos pontos situados ao longo da parte positiva do eixo O x . b Mostre que o módulo da força que uma barra exerce sobre a outra é dado por

c Mostre que, quando a ≫ L , o módulo dessa força se reduz a F = Q 2 / 4 π ϵ 0 a 2 . (Sugestão: use o desenvolvimento em série ln ⁡ ( 1 + z ) = z - z 2 2 + z 3 3 - … , válido para z ≪ 1 . Faça todos os desenvolvimentos até pelo menos o termo L 2 / a ² .) Interprete o resultado.

Passo 1

Para calcular o campo elétrico em cada ponto do eixo O x , podemos considerar um ponto infinitesimal no eixo, assim como um trecho de carga infinitesimal da barra que irá gerar um campo nesse ponto. Então, esboçando essa situação, obtemos:

Assim, temos que a distância da carga ao ponto é dada por:

r = L + a 2 + x - l

E a carga infinitesimal é:

d Q = Q L d l

Essa última equação mostra que a carga diferencial é apenas uma parte infinitesimal de toda a carga distribuída pela barra.

Passo 2

Agora, lembrando que o campo elétrico pode ser dado por:

E = k q r 2

Transformando em variáveis diferenciais, conseguimos:

d E = k d Q r 2 → d E = k Q L d l L + a 2 + x - l 2

Então, integrando essa equação, ou seja, calculando a soma de todos os campos gerados por cargas diferenciais para resultar no campo total, temos:

E = k Q L ∫ - a 2 - L - a / 2 d l L + a 2 + x - l 2

Ou:

E = k Q L ∫ 0 L d l L + a 2 + x - l 2

Usando o método da substituição simples com u = L + a 2 + x - l , tal que d u = - d l :

Quando l = L → u = a 2 + x

Quando l = 0 → u = L + a 2 + x

Dessa forma:

E = k Q L ∫ L + a 2 + x a 2 + x - d u u 2 = k Q L 1 u | a 2 + x L + a 2 + x

E = k Q L 1 a 2 + x - 1 L + a 2 + x

Passo 3

Da mesma forma, iremos considerar elementos infinitesimais para calcular a força. Assim, sabendo o campo elétrico gerado pela segunda barra, vamos considerar a força que esse mesmo campo exerce sobre uma pequena parcela da carga da primeira barra, que pode ser dada por:

d F = E d Q

Em seguida, devemos integrar a equação para encontrar a força total exercida pelo segundo campo elétrico em toda a extensão da primeira barra. Portanto:

F = ∫ E d Q = ∫ a / 2 L + a / 2 k Q L 1 a 2 + x - 1 L + a 2 + x Q L d x

F = k Q L 2 ∫ a / 2 L + a / 2 1 a 2 + x - 1 L + a 2 + x d x

Fazendo uso da substituição simples com u = x + a / 2 e d u = d x para o primeiro termo e v = L + x + a / 2 e d v = d x para o segundo termo, temos:

Quando x = L + a 2 → u = L + a e v = 2 L + a

Quando x = a 2 → u = a e v = L + a

Com isso:

F = k Q L 2 ∫ a L + a 1 u d u - ∫ L + a 2 L + a 1 v d v

F = k Q L 2 ln ⁡ u | L + a a - ln ⁡ v | 2 L + a L + a

Logo, a força é dada por:

F = k Q L 2 ln ⁡ L + a - ln ⁡ a - ln ⁡ 2 L + a - ln ⁡ L + a

F = k Q L 2 2 ln ⁡ L + a - ln ⁡ a + ln ⁡ 2 L + a

Pelas propriedades de logaritmos, podemos rearranjar a equação como:

F = k Q L 2 ln ⁡ L + a 2 - ln ⁡ a 2 L + a

F = k Q L 2 ln ⁡ L + a 2 a 2 L + a

Passo 4

Por fim, quando a ≫ L , podemos reorganizar a equação da força de uma forma que possamos representá-la como uma série. Então, reescrevendo a equação da força, temos:

F = k Q L 2 ln ⁡ a 2 L / a + 1 2 a 2 2 L / a + 1 = k Q L 2 ln ⁡ L / a + 1 2 2 L / a + 1

Usando as propriedades de logaritmo, conseguimos dividir o logaritmo original em dois outros:

F = k Q L 2 ln ⁡ L a + 1 2 - ln ⁡ 2 L a + 1

Ou:

F = k Q L 2 2 ln ⁡ L a + 1 - ln ⁡ 2 L a + 1

Substituindo L / a por z , temos que o valor de z é muito pequeno e, com isso, pode ser dado como:

ln ⁡ 1 + z = z - z 2 2 + z 3 3 - …

Então, a força é:

F = k Q L 2 2 L a - L 2 2 a 2 + … - 2 L a - 2 L 2 a 2 + …

Como o valor de a é muito maior que L , então a variável L não terá tanta influência no resultado da força. Portanto:

F = k Q a 2

Resposta

a   k Q L 1 a 2 + x - 1 L + a 2 + x

b   k Q L 2 ln ⁡ L + a 2 a 2 L + a

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