Enunciado

Uma barra fina não condutora, com uma distribuição uniforme de carga positiva Q , tem a forma de uma circunferência de raio R fig. 22-49. O eixo central do anel é o eixo z , com a origem no centro do anel. Determine o módulo do campo elétrico (a) no ponto z = 0 e (b) no ponto z = ∞   . (c) Em termos de R , para que valor positivo de z o módulo do campo é máximo? (d) Se R = 2,00   c m e Q = 4,00   μ C , qual é o valor máximo do campo?

Passo 1

E aí! tudo certinho? 😉

Nesse problema temos uma barra fina não condutora, com uma distribuição uniforme de carga positiva Q , tem a forma de uma circunferência de raio R .

A partir daí queremos saber qual é o módulo do campo elétrico no ponto z = 0 e no ponto z = ∞ sendo z o eixo que passa no centro da circunferência. Além disso, em termos de R , para que valor positivo de z o módulo do campo é máximo? E se R = 2,00   c m e Q = 4,00   μ C , qual é o valor máximo do campo?

Parece complicado, não é? 😐

Para essa questão, temos que saber a fórmula de cálculo do campo elétrico de um disco de raio R a uma distância z   dele. Você lembra? Essa fórmula está aqui embaixo:

E = σ 2 ϵ 0 1 - z z 2 + R 2  

Em que:

  • σ   é a densidade superficial de cargas ( σ = Q / ( 2 . π . R ) ) ;
  • z é a distância no eixo do disco;
  • R é o raio do disco.

Veja a imagem abaixo:

Legal, né? 😬

Passo 2

Bom, mas no centro do disco ( z = 0 ), o campo será nulo. Isso se explica por simetria, pois teremos um vetor na extrema direita do anel se cancelando com a extrema esquerda. Só que isso se repete em todo o anel.

Portanto, para cada vetor de um lado do anel, teremos outro do lado oposto que se cancelará com o primeiro. Tipo assim:

Só que acontecendo em todo o anel. Beleza?? Com isso, o vetor resultante será nulo!

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Item (b) no ponto z = ∞ , o campo será:

E ∞ = σ 2 ϵ 0 1 - ∞ ∞ 2 + R 2 ��

Ou seja, o termo:

1 - ∞ ∞ 2 + R 2   = 0

Logo, o campo será igual a zero:

E ∞ = σ 2 ϵ 0   .   0

E ∞ = 0

Portanto E = 0 .

O que faz muito sentido, não? Pensa comigo que o campo elétrico vai enfraquecendo conforme nos distanciamos da carga que o gera, até um momento que ele é igual a zero!

Passo 4

Para responder o item (c), pegaremos a equação do campo elétrico devido a um anel em função da distância até o mesmo:

E = σ 2 ϵ 0 1 - z z 2 + R 2  

Substituindo σ =   Q / ( 2 . π . R ) , chegaremos em:

E = Q z 4 π ϵ 0 z 2 + R 2 3 2 ,

Nós vamos descobrir ondo o campo é máximo se derivarmos o campo e igualarmos a zero.

Isso significa derivar essa equação em relação a z   e igualar a zero (para achar o z   que deixa o campo elétrico máximo):

Obs: Lembra de máximos e mínimos lá de cálculo? 👀

d E d z =   d d z Q z 4 π ϵ 0 z 2 + R 2 3 2 = 0

Vamos colocar tudo que não depende de z para fora da derivada:

Q 4 π ϵ 0 . d d z z z 2 + R 2 3 2 = 0

Pela regra da derivada da divisão:

d d z z z 2 + R 2 3 2 = [ z 2 + R 2 3 2 . 1 ] - z . 3 .   z   .   z 2 + R 2 z 2 + R 2 3 2 2

d E d z = Q 4 π ϵ 0 R 2 - 2 z 2 z 2 + R 2 5 2   = 0

Vamos multiplicar passar Q 4 π ϵ 0 para o outro lado:

R 2 - 2 z 2 z 2 + R 2 5 2   = 0

Agora podemos nos livrar desse denominador que passa para o outro lado multiplicando:

R 2 - 2 z 2 = 0

Isolando z de um lado só:

z 2 = R 2 2

Chegamos a:

z =   + R 2

z = 0,707 R .

Esse é o valor de z para o qual o campo elétrico é máximo!

Passo 5

Item (d)

Utilizando novamente a equação do campo elétrico devido a um anel:

E = Q z 4 π ϵ 0 z 2 + R 2 3 2

Os dados do enunciado são:

  • R = 2,00 cm e Q = 4,00 μC

Lembrando que para o campo elétrico máximo   z = 0,707 R e a constante ϵ 0 = 8,854   .   10 - 12 C 2 N . m 2   :

E = 4,00   .   10 - 6   C 0,707   .   0,02   m 4 π 8,854   .   10 - 12 C 2 N . m 2 0,707   .   0,02   m 2 + 0,02   m 2 3 2

E = 0,05656   .   10 - 6 111,263   .   10 - 12 . 0,0006 3 2

E = 0,05656   .   10 - 6 0,0016   .   10 - 12

E finalmente...

E = 36,35   .   10 6 N / C

E aí! o que achou? Responde Aí! 😬

Resposta

a     E C = 0

b     E = 0

c     z =   0,707 R

d     E =   36,35   .   10 6   N / C .

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