Enunciado

Duas cargas puntiformes positivas q, estão localizadas sobre o eixo y em y = ± s / 2

a. Obtenha uma expressão para o potencial criado pelas cargas ao longo do eixo x.

b. Desenhe o gráfico de V versus x para a região - ∞ ≤ x ≤ ∞ . Para comparação, trace uma linha pontilhada para indicar o potencial criado uma carga puntiforme 2q posicionada na origem do sistema de coordenadas.

Passo 1

Fala galera, tudo tranquilo? Deixarei um esquema abaixo sobre como é elaborado este problema de dipolo.

Podemos encontrar a distância d até o ponto P por meio de pitágoras.

d = x 2 + ( s / 2 ) 2 ,   p a r a   y = s / 2 e d = x 2 + ( - s / 2 ) 2 ,   p a r a   y = - s / 2

Agora podemos expressar cada potencial separadamente com respeito ao ponto P, potencial da partícula 1 em relação a P e potencial da partícula 2 em relação a P.

V a c i m a = q 4 π ϵ 0 ( x 2 + s 2 / 4 ) 1 / 2 , V a b a i x o = q 4 π ϵ 0 ( x 2 + s 2 / 4 ) 1 / 2

O potencial do dipolo pode ser expressado como

V d i p o l o = V a c i m a + V a b a i x o = q 4 π ϵ 0 1 ( x 2 + s 2 / 4 ) 1 / 2 + 1 ( x 2 + s 2 / 4 ) 1 / 2 =

V d i p o l o = V a c i m a + V a b a i x o = 2 q 4 π ϵ 0 1 ( x 2 + s 2 / 4 ) 1 / 2 .

Passo 2

Agora para o item (b) precisamos esboçar um gráfico do potencial em função da distância. Primeiro perceba que o potencial é dado em função de 2 q / d 2 , se colocarmos x em evidência, a equação para o potencial do dipolo fica com a seguinte expressão:

V d i p o l o = V a c i m a + V a b a i x o = 2 q 4 π ϵ 0 x 1 ( 1 + s 2 / 4 x 2 ) 1 / 2 , para grandes distâncias x > > s , a equação do denominador se resume ao valor 1 e temos o mesmo potencial para ambos os lados

Resposta

(a) V d i p o l o = V a c i m a + V a b a i x o = 2 q 4 π ϵ 0 1 ( x 2 + s 2 / 4 ) 1 / 2

V d i p o l o = V a c i m a + V a b a i x o = 2 q 4 π ϵ 0 x 1 ( 1 + s 2 / 4 x 2 ) 1 / 2

(b)

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