Enunciado

Duas dimensões. Na Fig. 13-34, três partículas pontuais são mantidas fixas em um plano xy. A partícula A tem massa m A , a partícula B tem massa 2,00 m A e a partícula C tem massa 3,00 m A . Uma quarta partícula, de massa 4,00 m A , pode ser colocada nas proximidades das outras três partículas. Em termos da distância d, em que valor da coordenada (a) x e (b) y a partícula D deve ser colocada para que a força gravitacional exercida pelas partículas B, C e D sobre a partícula A seja nula?

Passo 1

Esse problema já é bidimensional. Então temos que garantir a força resultante nula em A, tanto na direção horizontal quanto na vertical. Então, ao contrário dos problemas em uma dimensão, onde a gente tinha que resolver uma equação só, agora temos que resolver duas equações acopladas (uma para direção x e outra pra y), ou seja, um sistema. Mas relaxa que esse sistema é simples.

Passo 2

Para resolver essa questão vamos escrever a força gravitacional da seguinte maneira

F → = G M 1 M 2 r 2 r ^ = G M 1 M 2 r 3 r →

Onde r ^ é o vetor unitário que aponta da direção de uma partícula para outra e r ^ = r → r → = r → r

E r é a distância entre as duas partículas.

Agora vamos escrever as posições de cada uma das partículas

Partícula A:

r → A = 0,0

Partícula B:

r → B = 0 , d

Partícula C:

r → C = - 1,5 d ,   0

E a partícula D que queremos determinar é

r → D = x , y

Passo 3

Assim a força resultante em A será a soma das forças que cada partícula exerce em A :

F → = G m A m D r D A r → D A + G m A m B r B A r → B A + G m A m C r C A r → C A

E cada um desses r vai ser

r → D A = r → A - r → D = 0 , 0 - x , y = - x , - y

r D A = x 2 + y 2

r → B A = r → A - r → B = 0 , 0 - 0 , d = 0 , -   d

r B A = d

r → C A = r → A - r → C = 0 ,   0 - - 1,5 d ,   0 = 1,5 d , 0

r C D = 1,5 d  

Juntando tudo isso e lembrando que m A = m A , m B = 2 m A , m C = 3 m A e m D = 4 m A , temos que

F → = 2 G m A 2 d 3 0 , - d + 3 G m A 2 1,5 d 3 1,5 d ,   0 + 4 G m A 2 x 2 + y 2 3 - x , - y

F → = G m A 2 2 0 , - 1 d 2 + 3 1,0 1,5 d 2 + 4 - x , - y x 2 + y 2 3

Como queremos que a força total seja nula, temos que impor que cada uma das componentes seja nula, assim:

Em x :

3 1,5 d 2 - 4 x x 2 + y 2 3 = 0

x x 2 + y 2 3 = 3 4 1,5 d 2

Em y :

- 2 d 2 - 4 y x 2 + y 2 3 = 0

y x 2 + y 2 3 = - 1 2 d 2

Passo 4

Esse sisteminha parece bem chato de resolver, não é mesmo? Pra resolver ele, vamos passar para coordenadas polares escrevendo

x = r c o s θ

y = r s e n θ

Com

r = x 2 + y 2

tan ⁡ θ = x y

Assim o sistema fica

No x :

r c o s θ r 3 = 3 4 1,5 d 2

cos ⁡ θ = 3 r 2 4 1,5 d 2

No y :

r s e n θ r 3 = - 1 2 d 2

s e n θ = - r 2 2 d 2

Passo 5

Para resolver vamos dividir a segunda equação pela primeira

s e n θ cos ⁡ θ = tan ⁡ θ = - r 2 2 d 2 3 r 2 4 1,5 d 2

tan ⁡ θ = - 1 2 ⋅ 4 1,5 2 3 = - 2 1,5 2

tan ⁡ θ = - 1,5 = - 3 2

Com isso:

θ = a r c t a n - 3 2 = - 56,3 º

Para achar r vamos usar a relação fundamental da trigonometria

s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 1

- r 2 2 d 2 2 + 3 r 2 4 1,5 d 2 2 = 1

r 4 4 d 4 + 9 r 4 81 d 4 = 1

r 4 d 4 1 4 + 1 9 = 1

r 4 d 4 9 + 4 36 = 1

r 4 = 36 13 d 4 → r = 1,29 d

Passo 6

Agora basta voltar para x e y :

x = r c o s - 56,3 º = 0,716 d

y = r s e n - 56,3 º = - 1,07 d

E acabou! 😊

Resposta

(a) x = 0,716 d

(b) y = - 1,07 d

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