Enunciado

Duas esferas condutoras iguais, mantidas fixas, se atraem mutuamente com uma força eletrostática de 0,108   N quando a distância entre os centros é 50,0   c m . As esferas são ligadas por um fio condutor de diâmetro desprezível. Quando o fio é removido, as esferas se repelem com uma força de 0,0360   N . Supondo que a carga total das esferas fosse inicialmente positiva, determine: (a) a carga negativa inicial de uma das esferas; (b) a carga positiva inicial da outra esfera.

Passo 1

E aí galerinha, vamos destruir essa questão comigo? Vamos láaaa!

Vamos supor que a distância entre as esferas é suficiente para que possam ser consideradas cargas pontuais e chamar de q 1 e q 2 as cargas originais. Escolhemos o sistema de coordenadas de tal forma que a força que age sobre a esfera 2 é positiva quando a esfera é repelida pela esfera 1. Nesse caso, de acordo com a Eq. 21-1, a força a que a esfera 2 está submetida é

F a = - 1 4 π ϵ 0 q 1 q 2 r 2 = - k q 1 q 2 r 2

na qual r é a distância entre as esferas. O sinal negativo indica que as esferas se atraem. Como as esferas são iguais, adquirem a mesma carga ao serem ligadas por um fio; isso significa que a carga de cada esfera é q 1 + q 2 / 2 . A força agora é de repulsão e é dada por

F b = 1 4 π ϵ 0 q 1 + q 2 2 q 1 + q 2 2 r 2 = k q 1 + q 2 2 4 r 2 .

Passo 2

De acordo com a primeira das equações mostradas,

q 1 q 2 = - r 2 F a k = - ( 0,500 m ) 2 ( 0,108 N ) 8,99 × 10 9 N ⋅ m 2 / C 2 = - 3,00 × 10 - 12 C 2 .

De acordo com a segunda equação,

q 1 + q 2 = 2 r F b k = 2 ( 0,500 m ) 0,0360 N 8,99 × 10 9 N ⋅ m 2 / C 2 = 2,00 × 10 - 6 C ,

na qual escolhemos o sinal positivo para a raiz quadrada (o que equivale a supor que q 1 + q 2 ≥ 0). Explicitando q 2 na equação do produto das cargas, obtemos

q 2 = - 3,00 × 10 - 12 C 2 q 1

Substituindo  q 2  pelo seu valor na equação da soma das cargas, obtemos

q 1 - 3,00 × 10 - 12 C 2 q 1 = 2,00 × 10 - 6 C

Multiplicando por q 1 e reagrupando os termos, obtemos a equação do segundo grau

q 1 2 - 2,00 × 10 - 6 C q 1 - 3,00 × 10 - 12 C 2 = 0

cujas  soluçőes  são

q 1 = 2,00 × 10 - 6 C ± - 2,00 × 10 - 6 C 2 - 4 - 3,00 × 10 - 12 C 2 2

Passo 3

(a) Escolhendo o sinal positivo da raiz quadrada, obtemos q 1 = 3,00 × 10 - 6 C , o que nos dá q 2 = - 3,00 × 10 - 12 / q 1 = - 1,00 × 10 - 6 C . Escolhendo o sinal negativo da raiz quadrada, obtemos q 1 = - 1,00 × 10 - 6 C . Nos dois casos, a resposta é - 1,00 × 10 - 6 C = - 1,00 μ C .

Passo 4

(b) Como vimos no item (a), escolhendo o sinal positivo da raiz quadrada, obtemos q 1 = 3,00 × 10 - 6 C . Escolhendo o sinal negativo, q 1 = - 1,00 × 10 - 6 C , o que nos dá q 2 = - 3,00 × 10 - 12 / q 1 = 3,00 × 10 - 6 C . Nos dois casos, a resposta e 3,00 × 10 - 6 C = 3,00 μ C .

O que aconteceria se tivéssemos suposto que a carga total das partículas era inicialmente negativa? Como as forças permaneceriam as mesmas se os sinais das duas cargas fossem invertidos e a carga total mudaria de sinal, a resposta do item (a) seria - 3,00 × 10 - 6 C e a do item (b) seria 1,00 × 10 - 6 C .

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Resposta

a. - 1,00 μ C .

b. 1,00 × 10 - 6 C .

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