Enunciado

Duas fontes de pontos coerentes estão em fase e são separadas por uma distância d. Um padrão de interferência é detectado ao longo de uma linha paralela à linha através das fontes e uma grande distância D das fontes, conforme mostrado na Figura 16-31. (a) Mostre que a diferença de caminho Δ s das duas fontes para algum ponto da linha em um ângulo θ é dada, aproximadamente, por Δ s ≈ d s e n θ . Dica: Assuma que D   > >   d , de modo que as linhas das fontes até P sejam aproximadamente paralelas (Figura 16-31b). (b) Mostre que as duas ondas interferem construtivamente em P se Δ s   =   m   λ , onde m   =   0 ,   1 ,   2 , ... (Ou seja, mostre que há uma interferência máxima em P se Δ s   =   m   λ , onde m   =   0 ,   1 ,   2 ,   . . . ) (c) Mostre que a distância y m do máximo central (em y   =   0 ) até o m-ésimo máximo de interferência em P é dada por y m = D t a n θ m , onde d s e n θ m = m λ .

Passo 1

Olá! Tá bem? Então temos ondas sendo emitidas em S 1 e S 2 . Os caminhos dela se encontram em P .

Mas como D é muito grande, o enunciado pede para admitir que o caminho feito pela onda que sai de S 1 e o que sai de S 2 são paralelos.

a) No caso da letra (a), queremos saber uma aproximação para a diferença entre o comprimento dos caminhos feitos pelas ondas até chegar em P.

Podemos resolver essa olhando a figura b, como tem um ângulo de noventa graus entre a linha azul de baixo e a linha tracejada perpendicular, sabemos que aquele triangulo é retângulo, então podemos escrever a equação para o seno como:

s e n θ ≈ ∆ s d

Isolando ∆ s ficamos com:

∆ s ≈ d s e n θ

Como estamos supondo que as linhas das fontes são aproximadamente paralelas, então usamos o sinal   ≈ na equação.

Passo 2

b) Então, para que haja interferência construtiva precisamos que a diferença de fase δ entre as ondas seja um múltiplo de 2 π :

δ = 2 π m

Onde m = 0,1 , 2 , …  

Quando temos diferença de fase devido a diferença de percurso Δ S entre o caminho de duas ondas como temos nessa situação, vale a seguinte fórmulinha entre as duas ondas e o comprimento de onda λ :

δ = 2 π Δ S λ

Igualando nossas duas expressões para δ :

2 π m = 2 π Δ S λ

Isolando Δ S :

∆ s = λ 2 π m 2 π = λ m

Prontinho, provamos o que ele pediu 😊

Passo 3

c) Vamos voltar a usar mais a geometria da figura aqui, tudo bem? Ele quer que a gente prove que y m = D t a n θ m , onde d s e n θ m = m λ .

Esse y m é a distância y da figura (a), ok? Ali temos um outro triângulo retângulo formado por D e y . Basta olharmos para a figura (a) e escrevermos a tangente do ângulo θ , que vai ser o nosso ângulo θ m :

t g θ m = y m / D

Esse m que ele usa é só uma notação para representar que para cada valor de m vamos ter uma situação nova.

Isolando y m :

y m = D t g θ m

Provamos uma parte. Agora olha o triângulo de (a) de novo. Dele, tiramos que

∆ s ≈ d s e n θ

Lembra? Vou mudar esse sinal para um de igual, porque a gente já assumiu que os caminhos das ondas são paralelos e vou colocar um m no θ só para a notação ficar igual:

∆ s = d s e n θ m

E da letra (b), temos que

∆ s = λ m

Substituindo:

λ m = d s e n θ m

Pronto! Provamos o que ele pediu!

Resposta

Demonstração nos passos

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