Enunciado

Calcule o momento de inércia de um cubo homogêneo de massa M e aresta a , em relação a um diâmetro (eixo que passa pelos centros de duas faces opostas).

Passo 1

Primeiro vamos fazer uma ilustração, olha só:

Para resolver essa questão vamos lembrar da teorema dos eixo perpendiculares. Como o cubo é simétrico, então I x = I y . Logo,

I z = I x + I y = 2 I x

Isto é,

I z = 2 I x

Como colocamos em relação ao eixo z, esse é o momento de inércia que queremos achar.

Passo 2

Agora vamos ver como fica o I x . Temos que:

d m = ρ d V

Onde ρ = M / a 3 e d V = a 2 d x .

I x = 2 ⋅ ∫ 0 a 2 x 2 d m

Vamos integrar do ponto da origem do eixo até a borda e multiplicamos por dois, pois tem o outro lado do cubo 😉.

Logo,

I x = 2 ⋅ ∫ 0 a 2 x 2 M a d x

I x = 2 M a ⋅ ∫ 0 a 2 x 2 d x

Assim,

I x = 2 M a ⋅ x 3 3 | 0 a 2

I x = 2 M a ⋅ 1 3 ⋅ a 3 8

I x = M a 2 12

Mas do passo 1, sabemos o seguinte:

I z = 2 I x

  I z = M a 2 6

Resposta

I z = M a 2 6

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