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Duas pequenas espaçonaves, ambas de massa m = 2000   k g , estão na órbita circular em torno da Terra da figura, a uma altitude h de 400   k m . Kirk, o comandante de uma das naves, chega a qualquer ponto fixo da órbita 90   s antes e Picard, o comandante da segunda nave. Determine (a) o período T 0 e (b) a velocidade v 0 das naves. No ponto P da figura, Picard dispara um retrofoguete instantâneo na direção tangencial à órbita, reduzindo a velocidade da nave em 1,00 % . Depois do disparo, a nave assume a órbita elíptica representada na figura por uma linha tracejada. Determine (c) a energia cinética e (d) a energia potencial da nave imediatamente após o disparo. Na nova órbita elíptica de Picard, quais são (e) a energia total E , (f) o semieixo maior a e (g) o período orbital T ? (h) Quanto tempo Picard chega ao ponto P antes de Kirk?

Passo 1

Belezera galerinha, a letra (a) quer que a gente encontre o período orbital T 0 das naves, e para isso nos dá a altitude. Se somarmos o raio da Terra a essa altitude h , podemos aplicar a 3ª lei de Kepler pra achar a resposta bem rápido, logo:

R = R T + h

R = 6370 × 10 3 + 400 × 10 3

R = 6770 × 10 3   m

E agora aplicando a 3ª lei de Kepler obtemos que:

T 0 = 4 π 2 R 3 G M

T 0 = 4 3,14 2 6770 × 10 3 3 6,67 × 10 - 11 5,98 × 10 24

Logo:

T 0 = 5,54 × 10 3   s

Ou em minutos:

T 0 = 92,3   min

Belezinha, então quer dizer que esse é o período orbital de qualquer nave orbitando a Terra nessa altitude h .

Passo 2

Belejóia, agora para a letra (b), queremos a velocidade orbital. Vamos lembrar da fórmula para a velocidade de uma órbita circular:

v = G M R

Sendo assim, substituindo os valores que conhecemos, obtemos que:

v = 6,67 × 10 - 11 5,98 × 10 24 6770 × 10 3

v = 7,68 × 10 3   m/s

Passo 3

Agora vamos para a letra (c). O enunciado diz que Picard disparou um “retrofoguete” que fez a órbita perder 1,00 % da velocidade, e pede para calcularmos a nova energia cinética.

Mas pera lá meu patrão, vamos lembrar a fórmula da energia cinética dada como:

K = 1 2 m v 2

Como acabamos de calcular a velocidade inicial da órbita v = 7,68 × 10 3 , a nova velocidade vai ser expressa por:

v - 1 % v = 99 %   v

Logo:

v f = 0,99 7,68 × 10 3

Como já temos a massa, é só substituir:

K = 1 2 2000 0,99 7,68 × 10 3 2

K = 5,78 × 10 10   J

Pronto, essa é a resposta da letra (c).

Passo 4

A letra (d) pede a nova energia potencial da nave imediatamente após o disparo. Esse último detalhe é muito importante, porque imediatamente após o disparo a energia potencial não muda.

A redução de velocidade afeta apenas a energia cinética de imediato. Mais tarde, essa perda de energia cinética vai obrigar a nave a fazer uma órbita mais baixa, e só aí podemos falar em uma redução de energia potencial.

Então a energia potencial fica:

U =   - G M m R

U = - 6,67 × 10 - 11 5,98 × 10 24 2000 6770 × 10 3

U = - 1,18 × 10 11   J

Passo 5

A letra (e) quer a energia total na nave de Picard após o disparo.

Lembre-se que a energia total é a soma da potencial com a cinética, ou seja:

E T = K + U

Então é só somar as respostas dos dois últimos itens.

Obs.: A energia total de um sistema fechado se conserva. Ou seja, em qualquer momento após o disparo, a energia total é a mesma, por isso não tem problema usarmos a energia potencial que foi calculada para o momento “imediatamente após” o disparo.

E T = 5,78 × 10 10 - 1,18 × 10 11

E T =   - 6,02 × 10 10   J

Passo 6

A letra (f) quer o período orbital da nova órbita. Mas vamos com cuidado, dá pra complicar essa questão muito rápido, mas na verdade podemos responder isso usando só a energia total que acabamos de calcular.

Lembre da fórmula para a energia total de uma órbita:

E T = K + U =   - G M m 2 a

Esse a é semi-eixo maior da órbita, que é simplesmente o raio R no caso de uma órbita circular. Na figura dá pra ver que a órbita fica um pouco mais excêntrica após o disparo, então vamos usar o a para sermos mais corretos.

Arrumando essa fórmula para isolar o a :

a =   - G M m 2 E T

Substituindo:

a =   - 6,67 × 10 - 11 5,98 × 10 24 2000 2 - 6,02 × 10 10

a = 6,63 × 10 6   m

Passo 7

Para a letra (g), queremos o novo período orbital T . Bom, agora que já temos o semi-eixo maior é tranquilo. Só precisamos usar a 3ª lei de Kepler:

T = 4 π 2 a 3 G M

T = 4 3,14 2 6,63 × 10 6 3 6,67 × 10 - 11 5,98 × 10 24

T = 5,37 × 10 3   s

Ou em minutos:

T = 89,5   min

Veja que foi só repetir o procedimento que já tínhamos feito antes para a primeira órbita.

Passo 8

Antes de Picard disparar o míssil, o enunciado dizia que Kirk estava 90   s na sua frente. Nesse momento, o período orbital dos dois era:

T 0 = 5,54 × 10 3   s

Depois que Picard atirou, o período de Kirk continuou o mesmo, e o de Picard virou:

T P = 5,37 × 10 3   s

Ou seja, Picard ganhou uma vantagem de:

Δ T = 5,54 - 5,37 × 10 3 = 170   s

Como ele tinha um atraso de 90   s antes do disparo, no final das contas ele acabou com uma vantagem de:

Δ T ' = 170 - 90

∆ T = 80   s

Essa é a vantagem com que Picard chegar antes de Kirk em qualquer ponto da órbita, e portanto é a reposta da letra (h).

Resposta

(a) T 0 = 92,3   min

(b) v = 7,68 × 10 3   m/s

(c) K =   5,78 × 10 10   J

(d) U =   = - 1,18 × 10 11   J  

(e) E T = - 6,02 × 10 10   J

(f) a =   6,63 × 10 6   m

(g) T = 89,5   min

(h) 80   s

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