Enunciado

Durante seu estágio em uma companhia aeroespacial, você deverá projetar um pequeno foguete de pesquisa. O foguete deve ser lançado a partir do repouso, na superfície da Terra, e deve alcançar uma altura máxima de 960 m acima do solo. Os motores do foguete dão a ele uma aceleração para cima de 16,0 m/s2 durante o tempo T em que eles disparam. Depois que os motores desligam, o foguete está em queda livre. A resistência do ar pode ser ignorada. Qual deverá ser o valor de T para que o foguete alcance a altitude exigida?

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom...

O movimento do foguete é dividido em duas partes:

A primeira parte do movimento corresponde ao lançamento do foguete com uma aceleração ascendente constante do repouso da superfície da terra a uma certa altura h 1 quando os motores desligam.

Na segunda parte, o foguete, em queda livre, está subindo para atingir a altitude necessária. Pegue a superfície da terra como a origem das coordenadas (y = 0) e escolha o eixo y positivo para apontar para o norte.

As variáveis ​​conhecidas são as velocidades iniciais e finais de todo o movimento, v 0 = v 2 y = 0 , a aceleração em cada parte, a 1 y = 16 m / s 2  e  a 2 y = - g = - 9.8 m / s 2 e a altura máxima, h 2 = 960 m .

Visto que as duas partes do movimento envolvem a aceleração constante, as equações de aceleração constante podem ser aplicadas a cada parte separadamente.

Em seguida, combinamos os resultados para obter a variável desejada. A variável desconhecida é o tempo T durante o qual os motores são acionados.

Ah... lembre-se que y é a distância final, y 0 é a distância inicial, v 0 y é a velocidade inicial, v y é a velocidade final, t é o tempo e a é a aceleração.

Passo 2

Considere a segunda parte do movimento t 1 < t < t 2 . Como sabemos o valor de h 2 , v 2 y ,  e  a 2 y , uma relação entre v 2 y   e a altura h 1 é obtida usando a seguinte fórmula:

v 2 y 2 = v 1 y 2 + 2 a 2 y h 2 - h 1

Substituindo os valore conhecidos

0 = v 1 y 2 + 2 - 9.8 m s 2 960 m - h 1

Ou

v 1 y 2 = 19.6 m / s 2 960 m - h 1 = 18,816 m 2 s 2 - 19.6 m s 2 h 1                 ( 1 )

Passo 3

Agora, considere a primeira parte do movimento, 0 < t < t 1 = T . Nós sabemos o valor de y 0 , v 0 ,  e  a 1 y . Então, aplicamos a mesma fórmula acima para obter outra relação entre v 1 y  e  h 1 :

v 1 y 2 = v 0 2 + 2 a 1 y h 1

e substituindo os valores conhecidos temos:

v 1 y 2 = 0 + 2 16 m s 2 h 1 = 32 m s 2 h 1                           ( 2 )

Passo 4

A partir das Equações (1) e ('2), podemos determinar o valor de h 1 :

18,816 m 2 s 2 - 19.6 m s 2 h 1 = 32 m s 2 h 1

Que nos dá:

h 1 = 18,816 m 2 s 2 51.6 m s 2 = 364.65 m

Este resultado sugere a aplicação da seguinte fórmula para 0 < t < t 1 = T , para determinar o tempo desconhecido T:

h 1 = y 0 + v 0 T + 1 2 a 1 y T 2

Que, ao substituir os valores conhecidos é:

364.65 m = 0 + 0 + 1 2 16 m s 2 T 2

Ou

T = 364.65 m 8 m s 2 = 6.75 s

Resposta

6.75 s

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