Enunciado

Um elétron (cuja massa é m ) está confinado em uma caixa cúbica de dimensões L x = L y = L z (a) Quantas frequências diferentes o elétron é capaz de emitir ou absorver ao sofrer uma transição entre dois níveis que estão entre os cinco de menor energia? Que múltiplo de h 2 / 8 m L 2 corresponde (b) à menor. (c) à segunda menor, (d) à terceira menor, (e) à maior. (f) à segunda maior e (g) à terceira maior frequência?

Passo 1

A equação para os níveis de energia do elétron na caixa é

E n x , n y , n z = h 2 8 m n x 2 L x 2 + n y 2 L y 2 + n z 2 L z 2

Como as dimensões da caixa são L x = L y = L z = L :

E n x , n y , n z = h 2 8 m n x 2 L 2 + n y 2 L 2 + n z 2 L 2

O enunciado nos pede o resultado em múltiplos de h 2 / 8 m L 2 , vamos então multiplicar e dividir o lado direito por L 2 :

E n x , n y , n z = h 2 8 m L 2 L 2 n x 2 L 2 + n y 2 L 2 + n z 2 L 2

E passar h 2 8 m L 2 para a esquerda:

E n x , n y , n z h 2 / 8 m L 2 = L 2 n x 2 L 2 + n y 2 L 2 + n z 2 L 2 = n x 2 + n y 2 + n z 2

Passo 2

(a) As frequências podem ser obtidas com a equação de variação de energia entre os níveis:

∆ E = h f

Ficamos com:

f = ∆ E h

Substituindo a energia da caixa nessa equação, temos:

f = h 8 m L 2 n x 2 + n y 2 + n z 2

Vamos omitir o termo h 8 m L 2 , já que a questão pede para encontrarmos as frequências em termos de múltiplos desse valor. Vamos calcular as frequências das transições possíveis, a transição entre o quarto estado excitado e o estado fundamental, terá a frequência:

f = 12,00 - 3,00 = 9 , 00

A transição entre o terceiro estado excitado e o estado fundamental:

f = 11,00 - 3,00 = 8,00

A transição entre o terceiro estado excitado e o primeiro estado excitado:

f = 11,00 - 6,00 = 5,00

A transição entre o quarto estado excitado e o terceiro estado excitado:

f = 12,00 - 11,00 = 1,00

A transição entre o terceiro estado excitado e o segundo estado excitado

f = 11,00 - 9,00 = 2,00

A transição entre o segundo estado excitado e o primeiro estado excitado, a frequência será:

f = 9,00 - 6,00 = 3,00

Passo 3

(a) Com isso, temos 6 frequências que o elétron é capaz de absorver ou emitir.

Passo 4

(b) Olhando para os valores que calculamos no passo 2, a menor frequência será 1,00.

Passo 5

(c) A segunda menor será 2,00.

Passo 6

(d) A terceira 3,00.

Passo 7

(e) A maior frequência será 9,00

Passo 8

(f) A segunda maior será igual 8,00

Passo 9

(g) A terceira maior é 6,00

Resposta

a   6   f r e q u e n c i a s

b   1,00

c   2,00

d   3,00

e   9,00

f   8,00

g   6,00

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