Enunciado

A energia cinética inicial imprimida a um projétil de 0,0200 kg é 1200 J. (a) Supondo que ele é acelerado ao longo de um cano de rifle de 1,00 m, estime a potência média fornecida ao projétil durante o disparo. (b) Desprezando a resistência do ar, encontre o alcance deste projétil, quando disparado a um ângulo tal que o alcance seja igual à altura máxima atingida.

Passo 1

Letra (a)

Olá, querido! Tá bem? A gente quer a potência média fornecida ao projétil.

A potência média é dada pela razão entre trabalho e tempo decorrido.

P = W Δ t

Precisamos de Δ t que é o tempo decorrido nesse disparo, e W que o trabalho realizado.

Mas lembra que ele dá a energia cinética. Cara, falou de trabalho e energia cinética no mesmo contexto, cê pensa logo no teorema do trabalho-energia cinética. Olha a expressão dele:

W = Δ E c

W = E c - E c , 0

Isso diz que o trabalho total feito em uma partícula é igual à variação de energia cinética.

Já que nossa partícula sai do repouso, ou seja v 0 = 0 , e a energia cinética é proporcional a velocidade, a energia cinética inicial é nula, então E c , 0 = 0 ali no teorema. Ele fica:

W = E c

Passo 2

Agora vamos achar o Δ t .

A gente tem que a energia cinética final é dada por:

E c = 1 2 m v f 2

Isolando, a gente acha a velocidade no fim do cano:

v f = 2 E c m

Sabendo que v 0 = 0 porque saímos do repouso e já que o projetil percorre Δ S = l = 1   m , podemos descobrir a aceleração desse carinha usando a fórmulinha de Torriceli:

v f 2 = v 0 2 + 2 a Δ S

Substituindo o que a gente tem e isolando a :

2 E c m = 0 + 2 a l

a = 2 E c 2 l m = E c l m

Passo 3

Agora a gente pode achar o tempo usando a definição de aceleração:

a = Δ v Δ t

Δ t = v f - v 0 a

Substituindo o que a gente tem:

Δ t = 2 E c m - 0 E c l m

Δ t = l m E c 2 E c m

Passo 4

Achamos que

W = E c

Δ t = l m E c 2 E c m

Jogando tudo lá na potência, a gente tem:

P = W Δ t

P = E c l m E c 2 E c m

P = E c 2 l m 2 E c m

Jogando os valroes:

P = 1200 2 1 0,02 2 1200 0,02

P ≈ 208   k W

Passo 5

Letra (b)

Queremos o alcance desse projetil depois que ele sai do cano da arma. Mas a gente não tem o ângulo da velocidade inicial θ (a velocidade inicial aqui é a velocidade v f com que o projetil sai do rifle).

Só que ele diz que o alcance é igual a altura máxima. Da cinemática, a fórmula do alcance é:

A = 2 v 0 2 s e n θ c o s θ g

E a fórmula da altura máxima é:

h = v 0 2 s e n 2 θ 2 g

Agora a gente iguala as duas:

2 v 0 2 s e n θ c o s θ g = v 0 2 s e n 2 θ 2 g

Cortando algumas coisas a gente tem:

t g θ = 4

θ = a r c t g 4 = 76 °

Então esse é o ângulo de disparo.

Passo 6

Vamos voltar para a fórmula do alcance já que é ele quem a gente quer:

A = 2 v 0 2 s e n θ c o s θ g

Esse v 0 é a velocidade inicial do lançamento. Ou seja, é a velocidade do projetil ao sair do rifle, que chamamos de v f , e vimos que a expressão é

v o = 2 E c m

Jogando isso no alcance:

A = 4 E c s e n θ c o s θ m g

Agora jogando os valores:

A = 4 1200 s e n 76 ° c o s 76 ° ( 0,02 ) ( 9,81 )

A = 5,74   k m

Resposta

Letra (a): P = 208   k W

Letra (b): A = 5,74   k m

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